2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integral

3-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari

1º. Agar

 funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda

 funksiya ham AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib

 tenglik o‘rinli.

2º. Agar

 va

 funksiyalar AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda

 funksiyalar ham shu yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib,

 tenglik o‘rinli.

3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib,

 funksiya AC va CB yoylarning har biri bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda

 funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib,

 tenglik o‘rinli.

Bu xossalarning isboti ta’rifdan osongina kelib chiqadi.

4º. Agar

 egri chiziqli integral mavjud bo‘lsa, u holda

 egri chiziqli integral ham mavjud bo‘lib

 tenglik o‘rinli.

Haqiqatdan, B nuqtani AB yoyning boshlang‘ich nuqtasi A ni esa oxirgi nuqtasi deb hisoblasak, u holda

 bo‘linish nuqta

nuqtadan oldin keladi va integral yig‘indidagi

 son

 songa almashib,

 integral yig‘indi

 yig‘indiga almashadi.

Bundan

 tenglikni hosil qilib, limitga o‘tsak

 ya’ni,

 tenglikni hosil qilamiz.

5º. Agar

 funksiya yopiq L-kontur bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda

 egri chiziqli integralning qiymati L konturdagi qaysi nuqtani boshlang‘ich nuqta (bu nuqta oxirgi nuqta ham bo‘ladi) deb olinishiga bog‘liq emas.

Isbot. A va

 lar teng bo‘lmagan ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsin (5-rasm).

 5-rasm

A nuqtani boshlang‘ich (va albatta oxirgi) nuqta deb, egri chiziqli integralni ko‘rsatilgan yo‘nalish bo‘yicha hisoblasak 

 (1)

tenglikka ega bo‘lamiz.

Agar

 nuqtani boshlang‘ich nuqta deb olsak, u holda

     (2)

tenglikka ega bo‘lamiz.

(1) va (2) larning o‘ng tomonlari bir hil qo‘shiluvchilardan iborat. Shuning uchun chap tomonlari ham teng bo‘ladi. Demak, xossa isbotlandi.

L-o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq kontur bo‘lganda musbat va manfiy yo‘nalishlar hisobga olinadi.

Agar yopiq kontur bo‘ylab harakatlanma kontur bilan chegaralangan sohaning shu nuqtaga yaqin bo‘lgan qismi kuzatuvchidan chap tomonda qolsa, bunday yo‘nalish musbat yo‘nalish (28-rasm, a), agar o‘ng tomonda qolsa, bunday yo‘nalish manfiy yo‘nalish deb qabul qilinadi (6-rasm, b).

 6-rasm

1. Sodda AB egri chiziqda

 va

 funksiyalar va bu egri chiziqni

 bo`laklarga ajratish usuli

 berilgan bo`lsin. Har bir

 bo`laklarda ixtiyoriy 

 nuqta tanlab olib,

integral yig`indilarni tuzamiz, bu yerda

va

 lar bilan mos ravishda

         yoyning x va u o`qlaridagi proeksiyalari belgilangan.

  Agar

da S_T (P) va S_T(Q) yig`indilarning limitlari mavjud bo`lsa, u holda bu limitlar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalardan olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrallar deyiladi va mos ravishda

belgilanadi.

yig`indini Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning umumiy ko`rinishi deb atash va

 kabi yozish qabul qilingan.

  2. Oddiy aniq integralga keltirish.

  Agar AB egri chiziq

parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli integral

     (1)

formula bo`yicha hisoblanadi.

  Agar egri chiziq

 tenglama bilan berilsa, (1) formula

        (2)

ko`rinishni oladi.

  Agar

- kuch maydoni bo`lsa, bu kuchning moddiy nuqtani egri chiziq bo`ylab siljitishda bajargan ishi W  ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi:

.

  3. Agar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar uchun

                   (1)

shart bajarilsa, u holda        

 ifoda biror u(x,y) funksiyaning to`la differensiali bo`ladi va       

 integral integrallash yo`liga bog`liq bo`lmaydi, faqat A va V nuqtalarning berilishi bilan bir qiymatli aniqlanadi.

  To`la differensiali bo`yicha funksiyaning o`zi

yoki              

formula orqali topiladi.

  4. Ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog`lovchi

formula Grin formulasi deyilib, bu formuladan foydalanib, D sohaning yuzini quyidagicha ifodalash mumkin:

,

bu yerda G – D sohaning chegarasi.