2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integral

2. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash. Egri chiziqli integrallar odatda aniq integralga keltirilib hisoblanadi.

Silliq AB chiziq

 tenglamalar orqali berilib, t parametrning

 qiymatiga A nuqta,

 qiymatiga B nuqta mos kelsin.

Agar oldingi banddagi (1-band) shartlar bajarilsa, u holda

 integrallar mavjud va quyidagi tengliklar o‘rinli:

              (8)

             (9)

  (10)

1-misol.

 egri chiziqli integralni hisoblang, bu yerda AB egri chziq

 aylananing yuqori yarim qismi (7-rasm).

 7-rasm

Yechish. Bu yerda

 nuqta parametrning t=0 qiymatiga,

 nuqta esa parametrning

 qiymatiga mos keladi.

AB egri chiziq

 tenglama bilan berilgan uzluksiz funksiya bo‘lsin.

Bu yerda parametr t=x deb olib, AB chiziqning parametrik tenglamasiga ega bo‘lamiz.

 (8-rasm).

 8-rasm

(8) formulaga binoan,

 tenglikni hosil qilamiz.

Agar

 funksiya

 oraliqda uzluksiz

 hosilaga ega bo‘lsa,

,

 tengliklarni hosil qilamiz.

Agar AB chiziq

 to‘g‘ri chiziqning kesmasi bo‘lsa, u holda

 bo‘lib,

 bo‘ladi (9-rasm).

 9-rasm

2-misol.

 integralni hisoblang, bu yerda AB chiziq

 parabolani

 va

 nuqtalari orasidagi qismi (10-rasm).

  10-rasm

Yechish.

Agar AB chiziq

 tenglama bilan berilgan va

 oraliqda

 uzluksiz hosila mavjud bo‘lsa, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz  (11-rasm).

 11-rasm

,

,

Hususiy holda, AB chiziq

 to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘lsa, u holda

 bo‘ladi.

3-misol.

 integralni hisoblang, bu yerda AB chiziq

 parabolaning

 va

 nuqtalari orasidagi qismi (12-rasm).

  12-rasm

Yechish. Bunda