2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integral

2. Ikkinchi tur (koordinatalar bo‘yicha) egri chiziqli integral tushunchasi. To‘g‘rilanuvchi AB yoy va unda aniqlangan

 funksiya berilgan bo‘lsin. AB yoyni

 nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz (4-rasm).

 4-rasm

Bo‘lishni A nuqtadan B nuqtaga qarab olib boramiz va

 deb olamiz.

 nuqtaning koordinatalarini

 orqali belgilab, har bir 

 yoydan ixtiyoriy ravishda bittadan

 nuqtalar tanlab olib, quyidagi yig‘indini tuzamiz:

.           (4)

Bu yig‘indi

 funksiya uchun AB yoyda x koordinatasi bo‘yicha tuzilgan integral yig‘indi deyiladi. Bu yig‘indining qiymati AB yoyni bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan

 nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.

 bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasini

 deb olib, uni nolga intiltiramiz, ravshanki unda bo‘lakchalar soni n cheksiz kattalashadi.

Ta’rif. Agar

 da (4) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u  AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan

 nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit

 funksiyaning AB yoy bo‘ylab, x koordinata bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.

Bu holda

 funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi deyiladi.

Egri chiziqli integral

 kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha

.

Xuddi shu kabi

 funksiyadan y koordinata bo‘yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral quyidagicha ta’riflanadi:

Agar AB yoyda aniqlangan

 va

 funksiyalar berilgan bo‘lib,

 va

 intetgrallar mavjud bo‘lsa, u holda

 yig‘indi to‘la ikkinchi tur egri chiziqli integral (umumiy ko‘rinishdagi ikkinchi tur egri chiziqli integral) deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

         (5)

Agar A va B nuqtalar ustma-ust tushsa, yopiq kontur hosil bo‘ladi. Yopiq kontur bo‘yicha olingan egri chiziqli integral

ko‘rinishda belgilanadi.

Birinchi bandda ko‘rilgan tekis kuch maydonining bajargan ishi A quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

               (6)