1,Ҳисоблаш математикаси предмети

21. Чизиқли тенгламалар системасини ечиш учун Итерация методи
Агар номаълумлар сони жуда куп булса Гаусснинг аник методи жуда мураккаб булиб кетади. Бу холатда такрибий методларни куллаш, яъни аник ечим чексиз кетма-кетликларнинг лимити сифатида топилади.
Хозирги вактда хар хил принципларга асосланган холда жуда куп итерацион методлар яратилган.
Бу методлар уз хатосини узи тузатиб боради. Агар аник методлар билан ишлаётганда бирор кадамда хатога йул куйилса, бу хато охирги натижага хам таъсир килади. Якинлашувчи итерацион жараённинг бирор кадамида йул куйилган хато эса факат бир неча итерация кадамини ортикча бажаришгагина олиб келади холос.
Бирор кадамда йул куйилган хато кейинги кадамларда тузатиб борилади. Методларни хисоблаш схемалари содда булиб, уларни ЭХМларда реализация килиш кулайдир, лекин хар бир итерацион методнинг кулланиш сохаси чегаралангандир.
Шунинг учун хам, итерацион методларда факат якинлашиш масаласигина эмас, балки якинлашиш тезлиги масаласи хам катта ахамиятга эгадир. Якинлашиш тезлиги дастлабки якинлашиш векторининг кулай танланишигахам бо³ликдир.
Фараз киламиз чизикли тенгламалр системаси берилган булсин.
(1)
куйидаги белгилашлар киритиб
(2)
(1) -чи системани
(2) куринишда ёзамиз.
Фараз киламиз диогнал элементлари нолдан фаркли булсин.
(1) –чи системанинг 1 – чи тенгламасини га нисбатан 2 чисини га нисбатан 3 сини га нисбатан ва х.к ечиб куйидагини хосил киламиз.
(3)
Бу ерда
булганда

агар булганда
куйидаги матрицани киритамиз.

ва (3) –ни куйидагича ёзамиз.

(4)

(4) – чини кетма-кет якинлашиш методи билан ечамиз. Нолинчи якинлашиш деб озод хадлар устунини оламиз. буни (4) – га куйиб 1 –чи якинлашишни топамиз

(5)

Агар кетма-кет якинлашишлар

лимитга эга булса

бу лимит (3) –чи системанинг ечими булади.
Хакикаттанхам (5) дан лимитга утиб хосил киламиз.


ёки

яъни лимит вектори (4) – чини, яъни (2) – чини ечими булади.
Эслатма: Итерация методини куллаганда бошлангич якинлашиш сифатида озод хадлар усулини олиш шарт эмас, чунки итерация жарраёнининг якинлашиши матрицага боглик булади.
Бошлан³ич якинлашиш сифатида такрибий сонларни (илдизга якинини) олиш максадга мувофикдир.
Агар (3) –чи келтирилган теорема система учун куйидаги икки шартдан хеж булмаганда биттаси бажарилса (5) –чи итерацион жараён бошлангич шартга боглик булмасдан ягона илдизга якинлашади.