1D chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli element usullari

6.3.1.3 Basis Funksiyalar To`plamini toppish
Chekli o'lchovli fazo bazis funksiyalar to`plami orqali qoplanishi mumkin. Bazis funksiyalar to'plami cheksiz ko'p, lekin biz ulardan birini tanlashimiz kerak:

• 
  oddiy;
  
• 
  ixcham (minimal) qo'llashga ega, ya'ni kichik hududdan tashqari deyarli hamma joyda nol; va
  
• 
  regulyarlik talabiga javob beradi, ya'ni uzluksiz va differensiallanuvchi, tugun nuqtalaridan tashqari.
  

Eng sodda - shapkacha funksiyalari to'plami

Ularni dek oddiy tarzda ifodalash mumkin, ya’ni

Shapkachaning analitik shakli i = 1, 2, . . . , m – 1 uchun ishlaydi

va chekli element yechimi qidirish

va a_j koeffitsientlari uchun chiziqli tenglamalar sistemasini olish uchun minimallashtirish forma (M) yoki variatsion yoki kuchsiz forma (V) ishlatilishi mumkin. Shapka funksiyalaridan foydalanganimizda, bizda quyidagiga ega bo`lamiz

demak a_i - aniq yechimning x = x_i dagi taqribiy yechimi.
6.3.2 Ritz metodi
Har bir masalaning minimallashtirish formasi bo'lmasada, Ritz usuli eng qadimgi usullardan biri bo'lib, eng muvaffaqiyatli usullardan biri ekanligi o`z isbotini topgan.
(6.1) model masalasi uchun, minimallashtirish formasi

Avvalgidek, biz formaning taqribiy yechimini qidiramiz.
Buni funksional formaga almashtirish quyidagini beradi

a₁, a₂, . . . , a_M-1 ning ko'p o'zgaruvchili funksiyasi va shunday yozilishi mumkin

Global minimum (shuningdek, lokal minimum) uchun zaruriy shart

Shunday qilib, bizda mavjud bo'lgan a_j ga nisbatan xususiy hosilalarni olamiz

va integrallash va yig'ish tartibini almashtirish to'g'risida:

Bu Galerkin usulidan kelib chiqadigan, kuchsiz forma bo'lgan tenglamalar sistemasi, ya’ni