17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

2-Misol. 

 

 

 

 

 

 

  

 

    egri  chiziqli  integralni  hisoblang,  bu  yerda     vint  chizig‘i 

deb  ataluvchi  burama  chiziqning  birinchi  buramasi  (3-rasm):   

{

             

             

              

     

        

►Hosilalarni  topamiz: 

 

 

( )           ,   

 

( )  

       ,  

 

( )    . U holda (13) formulaga ko‘ra 

 

 

 

 

 

 

  

 

     

   

  

 

 

 

 

 

 

 

(   

 

     

 

 )

√ 

 

(   

 

       

 

 )    

 

      

 

 

 

 

√ 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

    

 

 

√ 

 

  

 

 

 

 

 

 

|

 

  

 

  

 

 

 

√ 

 

  

 

  

 

  ◄ 

I tur egri chiziqli integralning tadbiqlari. 

 

Moddiy  chiziqning  massasi. 

    egri  chiziqda  aniqlangan   ( )  funksiya  egri 

chiziq  bo‘ylab  taqsimlangan  massaning  zichligini  bersin. 

    egri  chiziqni  katta 

      sondagi  

   

 

 

                 elementar yoylarga bo‘lganda, har bir  

   

 

 

 

yoyning  barcha  nuqtalarida  zichlik  o‘zgarmas  va  bu  yoyning  ixtiyoriy 

 

 

( 

 

   

 

) 

nuqtasidagi 

 ( 

 

)  zichlikka  taqriban  teng  deb  olish  mumkin.    

 

  orqali 

 

   

 

 

 

elementar yoyning uzunligini belgilab, bu yoy massasi uchun 

 

 

   ( 

 

)  

 

                   

taqribiy tenglikni yozish mumkin. U holda 

   egri chiziqning   massasi uchun 

     

 

   

 ( 

 

)  

 

 

taqribiy tenglik o‘rinli bo‘ladi. Elementar yoylarning 

  

 

 uzunligi qanchalik kichik 

bo‘lsa bu taqribiy tenglikdagi xatolik shunchalik kichik bo‘ladi. Shuning uchun 

   

egri chiziqning 

  massasi sifatida     

       

   

 

 

   

 ( 

 

)  

 

 

limitning qiymatini olish mumkin. 

 

Egri  chiziq  massasining  mazkur  ta’rifini  I  tur  egri  chiziqli  integral  ta’rifi 

bilan taqqoslab 

     

  

 ( )      

  

 (    )                               (14) 

formulani  hosil  qilamiz.  Fazoviy 

    egri  chiziq  bo‘lganda  uning  massasi  uchun 

shunga o‘shash 

     

  

 ( )      

  

 (       )                               (15) 

formula o‘rinli bo‘ladi. 

 3-Misol.  Vint  chizig‘ining 

   nuqtadagi   ( )  zichligi  bu  nuqtaning  radius-

vektoriga praporsional bo‘lsa, chiziq bitta buramasining 

  massasini toping. 

  

  

  

  

3-rasm 

---

►  Biz  yuqorida  bu  chiziqni  qaradik  (3-rasm).  Uning  bitta  buramasi 

           , 

           ,          tengliklar  va                shart  bilan   (       )  nuqtadagi 

zichlik esa shartga ko‘ra  

 ( )         √ 

 

   

 

   

 

  tenglik bilan aniqlanadi, 

bu yerda 

   praporsionallik koeffisiyenti. U holda (13) va (15) formulalarga ko‘ra 

     

 

 (       )       

 

√ 

 

   

 

   

 

      

  

 

 √ 

 

   

 

√ 

 

   

 

 

 

     

   √ 

 

   

 

(

 

 

√ 

 

   

 

 

 

 

 

 

  

   .     √ 

 

   

 

 

 

/)|

 

  

  

   √ 

 

   

 

( √ 

 

    

 

 

 

 

 

 

  

  

      √ 

 

    

 

 

 

 

)  

◄ 

Moddiy  chiziqning  statik  va  inersiya  momentlari  va  og‘irlik  markazining 

koordinatalari.    Fazoviy 

    egri  ciziqning  zichligi   (       )  funksiya  bilan 

berilgan  bo‘lsin. 

    chiziqni   

 

   ,   

 

,…, 

 

 

     nuqtalar  yordamida 

uzunliklari 

  

 

  bo‘lgan 

   ta   

   

 

 

  elementar  yoylarga  bo‘lamiz.  Bo‘linishlar 

shunchalik  kichkki,  bunda  bitta  elementar  yoydagi  zichlik  o‘zgarmas  va  u  bu 

elementar  yoyning 

 

 

( 

 

   

 

   

 

)  nuqtasidagi   ( 

 

   

 

   

 

)  zichlikka  teng  deb  faraz 

qilamiz.  Bu  holda 

 

   

 

 

  elementar  yoyni  uning 

 

 

( 

 

   

 

   

 

)  nuqtasi  bilan 

almashtirish  mumkin  va  bu  nuqtada  butun 

 ( 

 

   

 

   

 

)  

 

  massa  jamlangan 

bo‘ladi.  Shuning  uchun 

    egri  chiziqning     ,     ,       tekislikliklarga 

nisbatan  statik momentlarini  

 

   

   

 

   

 

 

 ( 

 

   

 

   

 

)  

 

, 

 

   

   

 

   

 

 

 ( 

 

   

 

   

 

)  

 

, 

 

   

   

 

   

 

 

 ( 

 

   

 

   

 

)  

 

 

taqribiy tengliklar bilan aniqlash mumkin. Bu yerda ham 

       

     

*  

 

+ eng katta 

yoy  uzunligini  nolga  intiltirib  statik  va  inersiya  momentlarini  I  tur  egri  chiziqli 

integral yordamida hisoblanuvchi 

 

   

   

  

  (       )  ,    

   

   

  

  (       )  ,  

   

   

  

  (       )       (16) 

formulalarni hosil qilamiz. Xuddi shu singari mulohaza yuritib, 

   egri chiziqning 

bu tekisliklarga nisbatan inersiya momentlar uchun mos ravishda 

 

   

   

  

 

 

 (       )  ,  

   

   

  

 

 

 (       )  ,  

   

   

  

 

 

 (       )      (17) 

formulalarni hosil qilish mumkin.  

 

   egri chiziqning    o‘qqa nisbatan  

 

 inersiya momenti 

 

 

   

   

   

   

 

tenglik vilan hisoblanadi, boshqacha qilib aytganda 

 

 

 

   

  

( 

 

   

 

) (       )                                         (18) 

formula bilan hisoblanadi. Xuddi shu singari 

   va    o‘qlarga nisbatan inersiya 

momentlari uchun 

 

 

   

  

( 

 

   

 

) (       )  ,  

 

   

  

( 

 

   

 

) (       )               (19) 

formulalar o‘rinli. 

---

 

   egri chiziq  ( 

 

   

 

   

 

) og‘irlik markazining koordinatalari

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

   

 

   

 

 

 

   

 

 

tengliklarga ko‘ra topiladi. (15) va (16) formulalarni inobatga olsak 

 

 

 

 

  

  (     )  

 

  

 (     )  

   

 

 

 

  

  (     )  

 

  

 (     )  

   

 

 

 

  

  (     )  

 

  

 (     )  

                            (20) 

formulalarga ega bo‘lamiz. 

 

 (    )  zichlik  funksiyaga  ega  bo‘lgan       tekislikda  yotuvchi      egri 

chiziq  uchun 

    va      o‘qlarga  nisbatan  statik  va  inersiya  momentlari  mos 

ravishda 

 

 

   

  

  (    )  ,  

 

   

  

 

 

 (    )  ,  

 

   

  

  (    )  ,  

 

   

  

 

 

 (    )   

formulalarga ko‘ra hisoblanadi. Uning og‘irlik markazi koordinatalari esa 

 

 

 

 

  

  (    )  

 

  

 (    )  

   

 

 

 

  

  (    )  

 

  

 (    )  

 

formulalar bilan topiladi. 

4-Misol. 

         ,          ,       tengliklar bilan aniqlanuvchi vint chizig‘ining 

 (       )  nuqtadagi  zichligi   (       )       funksiya  bilan  aniqlansa,  chiziq 

birinchi buramasining og‘irlik markazi koordinatalarini toping. 

► Hosilalarni topamiz: 

 

 

         ,  

 

       ,  

 

   . U holda (15) formulaga 

ko‘ra cgiziq massasini hisoblaymiz 

     

  

        

  

 

  √   

 

       

 

          √   

  

 

      √  

 

 

 

|

 

  

   √   

 

  

(16) formulalarga ko‘ra chiziqning 

   ,     va     tekisliklarga nisbatan statik 

momentlarni hisoblaymiz 

 

   

   

  

  (       )      

  

  

 

      

  

 

  

 

√   

 

       

 

          

  √   

  

 

 

 

     √  

 

 

 

|

 

  

 

 √   

 

 

  

 

   

   

  

  (       )      

  

         

  

 

         √       √  

  

 

             

  |

                             

                        |    √        

|

 

  

   √  

  

 

            √      |

 

  

     

 

   

   

  

  (       )      

  

         

  

 

         √       √  

  

 

                  

  |

                             

                          |     √        

|

 

  

   √  

  

 

             √     

 

Og‘irlik markazining koordinatalarini (20) formulaga ko‘ra topamiz: 

---

 

 

 

 

   

 

 

 

 √   

 

      

 

 

 

   

 

 

  √   

 √   

 

   

 

 

  

 

 

 

 

   

 

 

 √   

 

 

 √   

 

 

 

 

  

Shunday qilib, egri chiziqning og‘irlik markazi 

 (             ) nuqtada ekan.◄