17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

I tur egri chiziqli integralni hisoblash. Biz yuqorida I tur egri chiziqli integralni 

hisoblashni (7) formula yordamida aniq integralni hisoblashga keltirildi. Biroq bu 

formula  amaliy  jihatdan  unchalik  qulay  emas,  chunki  kamdan-kam  hollardagina 

egri chiziqning paramateri sifatida yoy uzunligi olinadi. 

Bo‘lakli silliq 

   egri chiziq 

{

     ( ) 

     ( ) 

                                                        (8) 

  

  

  

  

2-rasm 

---

paramaetrik  tenglama  bilan  berilgan  bo‘lsin.  U  holda 

   yoy  uzunligini  egri 

chiziqning ixtiyoriy uchidan boshlab aniqlash mumkin, biz bu holda parametrning 

      qiymatiga mos keluvchi uchini boshlang‘ich nuqta sifatida qabul qilamiz. U 

holda 

   parametrning  o‘sib  borishiga     parametrning  o‘sishi  mos  keladi  va  egri 

chiziq uzunligining differensiali uchun  

     √( 

 

( ))

 

  ( 

 

( ))

 

   

formula o‘rinli bo‘ladi. Bunda 

      qiymat   nuqtaga va       qiymatga,       

qiymat  esa 

   nuqtaga  va       

  

  qiymatga  mos  keladi.  (7)  tenglikdagi  aniq 

integralda 

   yoy  uzunligi  parametridan     parametrga  o‘tib,  o‘zgaruvchilarni 

almashtirish mumkin. U holda bu tenglik 

 

  

 (    )      

 

 

 ( ( )   ( ))√( 

 

( ))

 

  ( 

 

( ))

 

                (9) 

ko‘rinishni oladi. 

 

Agar yassi chiziq 

     ( )      ,    - funksiyaning grafigidan iborat bo‘lsa, 

(9) formula 

 

  

 (    )      

 

 

 (    ( ))√    ( 

 

( ))

 

                               (10) 

ko‘rinishda bo‘ladi. Agar egri chiziq 

     ( )      ,    - funksiya bilan berilgan 

bo‘lsa 

 

  

 (    )      

 

 

 ( ( )   )√    ( 

 

( ))

 

                               (11) 

formulaga ega bo‘lamiz. 

 

    egri  chiziq  qutb  koordinatalar  sistemasida       ( )      , 

 

   

 

- 

tenglama bilan berilgan bo‘lsin. U holda dekart va qutb koordinatalarini bog‘lovchi 

             va               formulalarni,  hamda  qutb  koordinatalaridagi  yoy 

uzunligi differensialining 

     √ 

 

( )   ( 

 

( ))

 

   

ifodasini inobatga olsak 

 

  

 (    )      

 

 

 

 

 (                 )√ 

 

( )   ( 

 

( ))

 

             (12) 

formulani hosil qilamiz. 

 

Fazoviy silliq 

   egri chiziq 

{

     ( ) 

     ( ) 

     ( )

             

parametrik tenglama bilan berilgan bo‘lsa, bu egri chiziqda aniqlangan va uzluksiz 

 (       ) funksiyaning (4) I tur egri chiziqli integrali 

 

  

 (       )      

 

 

 ( ( )   ( )   ( ))√( 

 

( ))

 

  ( 

 

( ))

 

  ( 

 

( ))

 

       (13) 

formulaga ko‘ra hisoblanadi. 

---