17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

I tur egri chiziqli integralning mavjudligi. 

   egri chiziqda parametr sifatida   

nuqtadan hisoblanadigan 

  yoy uzunligini olamiz (2-rasm), ya’ni egri chiziqdagi   

nuqtaning  holati 

   nuqtadan     nuqtagacha  bo‘lgan        

̆   yoy  uzunligi  bilan 

aniqlanadi. U holda 

   egri chiziq 

     ( )       ( )   (         

  

) 

parametrik  tenglama  bilan  ifodalanadi,  egri  chiziq  nuqtalarida  aniqlangan 

 (    ) 

funksiya esa 

  argumentning murakkab  ( ( )   ( )) funksiyasiga o‘tadi. 

      

 

 

  (              )  orqali     parametrning  egri 

chiziqdagi 

 

 

  bo‘linish  nuqtasiga  mos  keluvchi 

qiymatini  belgilaymiz.  U  holda 

  

 

   

 

   

   

 

ekanligi   ravshan.   

 ̅

 

   orqali   esa   

   parametrning 

 

 

  nuqtani  aniqlovchi    qiymatini    belgilaymiz.  Bu  

belgilash   uchun 

 

 

   

   ̅

 

   

 

  tengsizlik  o‘rinli  bo‘ladi.  Kiritilgan  belgilashlardan  foydalanib,  (1) 

integral yig‘indi 

 

 

   

 ( ( ̅

 

)   ( ̅

 

))  

 

                                     (5) 

o‘rinishda yozib olamiz. 

 

Bu  yig‘indi  bir  vaqtning  o‘zida 

 ( ( )   ( ))  funksiya  aniq  integralining 

integral yig‘indisidan iborat va 

 

 

  

 

 ( ( )   ( ))        

   

 

 

   

 ( ( ̅

 

)   ( ̅

 

))  

 

                   (6) 

tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda har doimgidek 

        

 

  

 

. (2) va (6) tengliklar 

o‘ng  tomonlaridagi  limitlar  ostidagi  yig‘indilar  teng,  shuning  uchun  bu  limitlar 

ham va demak chap tomonlari ham teng bo‘ladi. Shunday qilib, 

 

  

 (    )      

 

  

 

 ( ( )   ( ))                                    (7) 

va ulardan birining mavjudaligi ikkinchisining ham mavjudligini keltirib chiqaradi. 

Shuning uchun o‘ng tomondagi aniq integralning mavjudlik sharti chap tomondagi 

I tur egri chiziqli integral uchun ham mavjudlik shartini beradi. 

1-Teorema.  Agar 

    egri  chiziq  bo‘lakli  silliq  va   (    )  funksiya      egri 

chiziqda uzluksiz bo‘lsa, 

 

  

 (    )   

I tur egri chiziqli integral mavjud.