17-maruza Chiziqli operatorlar ustida amallar. 1-ta’rif

17-maruza Chiziqli operatorlar ustida amallar.

1-ta’rif. Agar fazoning ikkita va chiziqli operatorlari uchun tenglik fazoning istalgan vektori uchun bajarilsa, va operatorlari o’zaro teng deyiladi.

Biror fazoda ikkitadan kam bo’lmagan chiziqli operatorlar aniqlangan bo’lsa, bu operatorlarning yig’indisi, ayirmasi haqida gapirish mumkin.

fazoda va chiziqli operatorlar berilgan bo’lsin.

2-ta’rif. Agar fazoning istalgan vektori uchun tenglik bajarilsa, operator va operatorlar yig’indisi deyiladi va orqali yoziladi.

Chiziqli operatorlar yig’indisi yana chiziqli operator bo’ladi.

Haqiqatan, agar operatorga mos keluvchi matritsani operatorga mos keluvchi matritsani operatorga operator mos keluvchi matritsa C orqali belgilasak, u holda tenglik o’rinli bo’ladi. Chiziqli operatorlar uchun

tengliklar o’rinlidir. ayirma ham xuddi shu usulda aniqlanadi (tekshirib ko’ring).

3-ta’rif. bo’lib, fazoda berilgan operatorlar uchun tenglik fazoning istalgan elementi uchun bajarilsa, u holda ga operatorning skalyar miqdorga ko’paytmasi deyiladi.

Natija. P sonlar maydoni ustida berilgan chiziqli operatorlar to’plami chiziqli fazo bo’ladi.

4-ta’rif. Agar operatorga biror bazisga nisbatan A kvadrat matritsa mos kelsa, A matritsaning rangi chiziqli operatorning ham rangi deyiladi.

Chiziqli operatorlar orasida uchun va kabi operatorlar mavjud bo’lsa, ular mos ravishdaayni (birlik) va nol operatorlar deb ataladi. Birlik operator , nol operator esa orqali belgilanib, ularga mos ravishda birlik, ya’ni E va nol matritsalar to’g’ri keladi.

Ba’zi hollarda fazoning nolmas vektorlari operator ta’sirida nol vektorga akslanishi mumkin.

5-ta’rif. fazoning operator yordamida nolga akslanuvchi barcha elementlari to’plamiga operatorning yadrosi deyiladi va u orqali belgilanadi.

1-teorema. chiziqli operatorlar yadrosi shu operator qaralayotgan fazoning qism fazosi bo’ladi.

Isbot. bo’lganda va hamda chiziqli operator bo’lgani uchun

bo’ladi. Demak, fazoning qisim fazosidir.