16-Mavzu. Chiziqli almashtirish matritsani Jordan normal formasiga keltirish 1-Misol

16-Mavzu. Chiziqli almashtirish matritsani Jordan normal formasiga keltirish
1-Misol. Ushbu matritsaning Jordan normal formasini toping.

Yechish. tenglamani qaraymiz:

Natijada, quyidagi tenglamani olamiz:

(λ–1)²(λ+1)² = 0

Bu tenglamadan ko’rinib turibdiki, λ₁ = 1 ikki karrali ildiz ekan, ya’ni λ₁ = 1 xos sonni algebraik karraliligi m₁=2 bo’ladi va λ₂ = -1 xos sonning algebraik karraliligi esa m₂=2 bo’ladi.

Endi ushbu xos sonlarga mos keluvchi xos vektorlarni topamiz. Demak, λ₁=1 xos son uchun bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib xos vektorni topamiz va λ₁ = 1 xos sonni geometrik karraliligi s₁=1 ekan. Bu vektorga bog’langan vektorni tenglikdan topamiz, ya’ni bo’ladi.

Xuddi shunday, λ₂= -1 xos son uchun bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib xos vektorlarni topamiz va λ₂ = 1 xos sonni geometric karraliligi s₂=1 ekan. Bu vektorga bog’langan vektorni tenglikdan topamiz, ya’ni bo’ladi. Demak, , , va vektorlar Jordan bazisi bo’ladi va bu bazisda А chiziqli almashtirishni ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

.

Mustaqil yechish uchun masalalar.

1. Quyidagi chiziqli almashtirish matritsalarini Jordan normal formaga keltiring.

2. Isbotlang. o‘lchamli kompleks fazoda ixtiyoriy chiziqli almashtirish uchun kamida bitta o‘lchamli invariant qism fazo mavjud.

3. Isbotlang. o‘lchamli kompleks fazoda ixtiyoriy chiziqli almashtirish berilgan bo‘lib, uning xos sonlari va bu xos sonlarga mos keluvchi ta xos vektorlar bo‘lsin.

U holda

vektorlardan iborat bazis mavjudki, almashtirish

ko‘rinishda bo‘ladi.