14. mavzu. Mexanik sistemaning harakat tenglamalari

14.5. Lagranjning 1 – tur harakat tenglamalari.

Agar ta moddiy nuqtadan tashkil topgan sistemaga

(14.20)

golonom statsionar ideal bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsa, bu bog’lanishlar sistema virtual ko’chishlaridan tasini bir - biriga bog’liq qilib qo’yib, ular quyidagi munosabatlar bilan aniqlanadi:

(14.21)

Binobarin, ta virtual ko’chishlardan tasi bir-biriga bog’liq bo’lmaydi. (14.21) tenglamalardan ta bir-biriga bog’liq ko’chishlarni ta bir-biriga bog’liq bo’lmagan kuchishlar orqali ifodalab, ularni dinamikaning umumiy tenglamasiga quyib, bir-biriga bog’liq bo’lmagan mumkin bo’lgan kuchishlar oldidagi koeffitsientlarni nolga tenglash bilan harakatning ta differentsial tenglamalarini hosil qilish mumkin. Bu tenglamalar qatorida ta bog’lanish tenglamalarini birgalikda olib, ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz va ularni yechib, koordinatalarni vaqt va integrallash doimiylari funktsiyasi sifatida aniqlash mumkin.
Ammo differentsial tenglamalarni bunday yechish metodi anchagina murakkabdir. Bunda Lagranjning noma’lum ko’paytuvchilari deb atalmish dan foydalanish usuli avvalgisiga qaraganda qulayroqdir. Bu usulga ko’ra (14.21) ifodalarni mos ravishda hozircha noma’lum bo’lgan ko’paytuvchilarga ko’paytiramiz va hosil bo’lgan ko’paytmalarni dinamikaning umumiy tenglamasi bilan qo’shamiz. Iyg’indidagi hadlarni gruppalagandan sung

(14.22)

tenglama kelib chiqadi. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, variatsiyalardan faqat tasigina bir-biriga bog’liq emas, ulardan tasi esa (14.21) munosabat bilan bog’langan. ta koordinatalar variatsiyalarining mustaqilligidan foydalanib, (14.22) tenglamada ta kichik qavsdagi ifodalarni nolga tenglashtirib olish mumkin. Qolgan ta kichik qavsdagi ifodalar esa ko’paytuvchilarni tegishlicha tanlash bilan nolga tenglanadi. Natijada quyidagi ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

(14.23)

(14.23)sistema Lagranjning birinchi tur tenglamalari deyiladi. (14.23) tenglamalar sistemasi qatoriga (14.20) bog’lanish tenglamalarini qo’shib qarasak, ta noma’lumlarga nisbatan yopiq sistema hosil bo’ladi. Bu sistemani yechib, ta yordamchi ko’paytuvchilar va mexanik sistema nuqtalarining koordinatalari vaqtning funktsiyalari sifatida aniqlanadi. (14.23] ni mexanik sistema harakatining differentsial tenglamalari bilan taqqoslab, ifodalar (14.20) bilan ifodalanuvchi bog’lanishlar reaktsiya kuchlarining koordinata o’qlaridagi proektsiyalaridan iborat ekanligini ko’ramiz.
Mexanik sistema nuqtalari sonini va sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar sonining ortishi bilan (14.23) va (14.20) tenglamalarning soni ham oshib boradi, natijada bu tenglamalarning amalda qullanilishi qiyinlashadi. Lagranjning 1 tur tenglamalarini ahamiyati shundaki, ular yordamida sistema nuqtalari harakatini aniqlash bilan bir qatorda bog’lanishlar reaktsiyalarini ham topish mumkin.
Misol tariqasida R og’irlikdagi moddiy nuqtaning silliq gorizongal tekislikdagi harakagini ko’raylik. o’qni gorizontal tekislikka perpendikulyar qilib. U holda bog’lanish tenglamasi tenglama bilan ifodalanadi. Bu holda nuqtaning erkinlik darajasi ga teng.
bo’lganidan moddiy nuqtaning (14.23) ko’rinishdagi differentsial tenglamasi quyidagicha yoziladi:

(14.24)

Bu holda koeffitsientni aniqlasak, kelib chiqadi.
bog’lanish reaktsiya kuchining koordinata o’qlaridagi proektsiyalari quyidagicha topiladi:

Binobarin,
SHunday qilib, (a) differentsial tenglamalar quyidagi ko’rinishni oladi:

(14.25)

tenglama bilan ifodalanuvchi bog’lanish (tekislik) bo’shatmaydigan bog’lanish bo’lgani uchun boshlang’ich paytda . U holda (b) tenglamalarning birinchi ikkitasidan nuqta tekislikda o’z inertsiyasi bo’yicha harakatda bo’lishi kelib chiqadi.

Nazorat savollari:

1. Inertsiya kuchi deganda nimani tushunasiz?
2. Nuqtaning inertsiya kuchi deganda nimani tushunasiz?
3. Moddiy nuqta uchun Dalamber printsipining mohiyati nimada?
4. Qanday holatlarda kinetostatik usul qulay va samarali bo’ladi?
5. Dinamikaning umumiy tenglamasining ifodasini keltiring.
6. Dinamikaning umumiy tenglamasi ma’nosi nimada?
7. Dinamikaning umumiy tenglamasining analitik ko’rinishini keltiring.
8. Lagranjning birinchi tur tenglamalarining kamchiligi nimada?