14-ma’ruza. 7-bob. 14-mavzu: tekis egilish

M (z) 
_z 2
R_A z  q ₂

Balka uchun egilgan o’qining differensial tenglamasini tuzamiz:
_z 2

EJ ^''
 M (z)  R_A
z  q . 2

Bu ifodani ikki marta integrallaymiz:

EJ ^'
 M (z)  R
^z  q

2

A
2
_z 3
^z  C. 6

3
_z 4

EJ
 M (z)  R

• 
  q
  

6 24

• 
  C.z  D
  

A
Bu ifodalardagi integrallashda hosil bo’lgan . C ... va D ... ixtiyoriy o’zgarmaslarni va . R_A .. tayanch reaksiyasini quyidagi shartlardan topamiz:
z  0 .... bo’lganda,   0
z  𝑙 .... bo’lganda,  ^'  0
z  𝑙 .. bo’lganda   0
Bu chegaraviy shartlarning birinchisidan . D  0 .. bo’lishini ko’rish
qiyin emas, qolgan ikkalasidan foydalanib, yuqoridagi ifodalarni quyidagicha yozish mumkin:

R

A
_𝑙2
2
 _𝑙3

q
6
 C  0;
_𝑙3

R

A
6
4

_ 𝑙
q ₂₄  C  𝑙  0.

Bularning ikkinchisini . 𝑙 .. ga qistirib, hosil bo’lgan natijani birinchisidan hadlab ayiramiz:

_𝑙 2 _𝑙3

_𝑙3
_𝑙4

R_{A 2}  q ₆

• 
  R_{A 6}
  

 q  0.
24
_𝑙3
_𝑙3

Bundan ..
.. ni topamiz:
 q( ₆  ₂₄)  _{3 .}

R_A R_A
𝑙 2
2
 _𝑙2
6
₈ q𝑙

R_A . ning qiymatini yuqoridagi ifodalarning birinchisiga qo’yib . C .. ni topamiz:

8
³ q𝑙
_𝑙2
2
 _𝑙2

q
6
 C  0
; C  
q𝑙³
48
bo’ladi.

Tayanch reaksiyasi .
R_A .. va R_B
tayanch momenti . M _B ... larni (a) va

2. 
   
   8
   
   8
   
   B
   tenglamalardan, ya’ni muvozanat tenglamalaridan foydalanib, oldingi paragrafdagidek aniqlaymiz, ularning qiymati ham oldingiday qiymatlarga
   

teng bo’ladi
(R_A
 ³ q𝑙;
R  ⁵ q𝑙 ;
_q 2

_ 𝑙

M
_{B 8} ).

4. 
   Statik aniqmas balkalarga qo’yilgan kuchlar ularni bir necha uchastkaga ajratgan hollarda ham ixtiyoriy o’zgarmaslarning soni ikkitadan oshmaydi, ammo ularni topish ayrim hollarda anchagina qiyinchiliklarga olib keladi. Masalan, tashqi kuchlar balkani beshta uchastkaga ajratsa, ixtiyoriy o’zgarmaslar o’nta bo’lib, ularni topish uchun o’nta tenglamani birgalikda yechishga to’g’ri keladi, bu esa ancha mehnat talab qiladi. Bunday hollarda masalani boshlang’ich parametr usulidan foydalanib yechish birmuncha qulaydir. Agar balkaning bir uchi qistirib mahkamlangan tayanchli bo’lsa, u holda boshlang’ich parametr usuli juda qo’l keladi.
   

10.5-shakl, a da ko’rsatilgan balkaning tayanch reaksiyalari tayanch momentini boshlang’ich parametr usulidan foydalanib aniqlaymiz.
Shu balka uchun lozim bo’lgan statikaning muvozanat tenglamalarini

2
tuzamiz: _
M  M  q𝑙 ²  R
𝑙  P ^𝑙  M _A  0 ;

2

A

C
_ M_C
 M  P ^𝑙  R_A 𝑙  M _A
 0.

2
Bulardan quyidagilarni yozamiz:

2
R_C 𝑙  M _A
 ¹ q𝑙²  0
(a)
R_A 𝑙  M _A
 ³ q𝑙 ²  0
(b)

Bu ikki tenglamalarda uchta ( R_A , R_C , M _A .) noma’lumlar bo’lganligi uchun masala bir marta statik aniqmas ekan.
Koordinata boshini A tayanchga joylashtirib balka egilgan o’qining
universal tenglamasini tuzamiz:




_ 1 ^ z ³

(z  ^𝑙 )⁴
_z 2 ₂

(z  𝑙 / 2)³

(z  𝑙)^{3 }

(z)  ₀  ₀ z  _{EJ }R_A

₆  M _{A 2}  q ₂₄  P ₆

• 
  R_{C }
  

6



Bu tenglamada ₀ . va .₀ . lar mos ravishda koordinata boshining
boshlang’ich salqilik va aylanish burchagini ifodalaydi va ularning
₀  ₀  0 .. bo’lishini hisobga olib va S tayanchda salqilik nolga tenglik

shartidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
R_A 𝑙  3M _A
 ⁹ q ²  0.

𝑙
64

Hosil bo’lgan (a), (b) va (v) tenglamalarni birgalikda yechib, barcha noma’lumlarni topamiz:

𝑙
_{R } 279 _q
A 128
; R_B
  ²³ q ; 128
_{M } 87

A
128
q𝑙² .

𝑙
Eguvchi moment va kesuvchi kuch epyuralarini statik aniq balkalardagidek qurish mumkin (10.5-shakl, b,v).

_а) P  q𝑙

А ^B

M  q𝑙²
q
z
C ^D

М_А
R_A


279
128
𝑙 2
279
128


151
128
𝑙 2
_RC 𝑙 2


Ep"Q"
(q𝑙)

b)


87
128
1 2
_o o


v) _o

32,5
128


Ep" М "

o
(q𝑙² )


10.5-shakl ^{78 1}
V. Biz yuqorida, prizmatik sterjenlardan tayyorlangan yoki ko’ndalang kesimi o’zgarmaydigan balkalarning ko’ndalang kesim o’lchamlarini tanlashda eng katta eguvchi moment ta’sir qilayotgan ya’ni havfli kesimning mustahkamlik shartlarini bajarilishidan foydalangan edik. Ammo balkaning boshqa ko’ndalang kesimlari ortiqcha zapas bilan ishlaganligi uchun ularning o’lchamlarini ham eng katta eguvchi momentlarga muvofiq ravishda olish lozim. Boshqacha qilib aytganda, balkaning boshqa ko’ndalang kesimlaridagi kuchlanishlar esa uning materiali uchun ruxsat etilgan kuchlanishdan kichikdir. Shunday qilib, ko’ndalang kesimi o’zgarmas bo’lgan balkalarning egilishida (sof egilishdan boshqa hollarda) uning xavfli kesimidan tashqari barcha kesimlaridagi kuchlanishlar ruxsat etilgan kuchlanishdan kichik bo’ladi ya’ni balkaga ortiqcha material sarflanadi.
Balkaning barcha ko’ndalang kesimlarida hosil bo’ladigan eng katta normal kuchlanish, uning materiali uchun ruxsat etilgan kuchlanishga teng bo’lsa, bunday balkalarga teng qarshilik ko’rsatuvchi balkalar deyiladi. Teng qarshilik ko’rsatuvchi balkalar tejamli va yengil bo’ladi.

Teng qarshilik ko’rsatuvchi balkalarning barcha kesimlari quyidagi shartlarni qanoatlantirishi lozim:

M (z) _ ^{M мах}
    const
_; W (z) _ M (z)
(10.4)

W (z) W₀
^W0 ^M мах

Bundan ko’rinadiki, eguvchi moment balka ko’ndalang kesimi bo’yicha qanday qonun bilan o’zgarsa, qarshilik momenti ham xuddi shunday qonun bilan o’zgarishi lozim, ya’ni kesimlarning qarshilik momentlari tegishli eguvchi momentlarga proporsionaldir.
Egilishga teng qarshilik ko’rsatuvchi balkalarni hisoblashni quyidagi misollarda ko’rib chiqamiz.
10.9-shakl, a da ko’rsatilgan ya’ni ko’ndalang kesimi to’g’ri to’rtburchakli teng qarshilik ko’rsatuvchi balka bir uchi bilan qistirib mahkamlangan va erkin uchiga R kuch qo’yilgan:

1. 
   ko’ndalang kesimi balandligi o’zgarmas bo’lsa, eni qanday qonun bilan o’zgaradi (10.9-shakl, b);
   
2. 
   ko’ndalang kesimi eni o’zgarmas bo’lsa, balandligi qanday o’zgaradi (10.8-shakl, v).
   

1. 
   Balka ko’ndalang kesimining balandligi . h .. bilan o’zgaruvchan enini esa x bilan balkaning mahkamlangan kesimi enini . b₀ .. bilan
   

belgilaymiz. (10.4)-formulaga asosan:
W (z) _ M (z) _ P  z _ z _.

W₀ M P  𝑙 𝑙
Bu ifodani solishtirib, ikkinchi tomondan quyidagini olamiz:

W (z) _
W₀
x  h² _
6
6 _ x _;

0

0
b h² b
z _ x _;
𝑙 b₀
x  ^b0 z ,
𝑙
(10.5)

(10.5) ifodadan ko’rinadiki balkaning eni to’g’ri chiziq qonuni bilan o’zgarar ekan (10.9-shakl, b).

2. 
   Balkaning kesimi eni o’zgarmas bo’lsin. . z .. masofadagi kesimning eguvchi momenti va qarshilik momenti quyidagicha bo’ladi:
   

b  y ²

z
M (z)  P  z ; W  , 6
bu yerda: y – balka ko’ndalang kesimining o’zgaruvchi balandiligi;
b – balka ko’ndalang kesimining o’zgarmas eni.
Balkaning qistirib mahkamlangan ko’ndalang kesimidagi eguvchi
moment . M  P  𝑙 .bo’lib, uning absolyut qiymati olinadi va shu

kesimdagi qarshilik momenti ..W_0
 bh²
6
.. bo’ladi.

Bularni 10.4-formulaga qo’yib quyidagini hosil qilamiz:

b  y ²
b  h²
_ P  z _;
P  𝑙
y ²  ^h z

2
𝑙
(10.6)

Bu ifodadan ko’rinadiki, bu holda teng qarshilik ko’rsatuvchi balka kesimining balandligi parabola qonuni bilan o’zgarar ekan (10.9-shakl, v).
Teng qarshilik ko’rsatuvchi balkaning materiali uchun ruxsat etilgan

kuchlanish ma’lum bo’lgan hollarda ya’ni ..  

ni topib, (10.6) dan y ni topamiz.

^M мах
b  h²
6
bo’lsa, bundan . h ..

Balkaning ko’ndalang kesimi balandligi o’zgarmas bo’lib, eni esa o’zgaruvchi bo’lgan holda, ya’ni eni (10.5) ifodaga binoan o’zgarsa , bunday balkaning shaklini yasash oson bo’lib (10.10-shakl, b), o’zgarmas ko’ndalang kesimli balkalardagidan ikki barobar material kam sarflanishi lozim. Kuch qo’yilgan kesimning balandligi juda kichik bo’lgani uchun bu kesimda juda katta kesuvchi kuchlar hosil bo’lib ularning hosil bo’lishiga yo’l qo’ymaslik uchun balkaning uchida kichkina supacha hosil qilinadi, buning uchun esa material undan ko’ra bir oz ko’proq sarflanadi (10.10- shakl, b).

Agar bu supacha enini
b_мin . bilan belgilasak, uning yuzasi .
b_мin  h ...

balka uchida hosil bo’ladigan kesuvchi kuchga bardosh bera olishi lozim:

_{ } ^3Qмах
  .

мах
2b_мin h

Bunda .Q
 P .. bo’lgani uchun b
_ 3 P
(10.7)

мах

a)
мin 2h 

P

b)
h

z

5. 
   ^у
   

x
𝑙
P

z _{h у}

в
10.9-shakl.

_z P

1. 
   ^h
   

b)
^в0


х


^Вmin

10.10-shakl.
Balkaning balandligi o’zgaruvchi bo’lganda ham balkaning uchida supacha bo’lishi kerakdir, aks holda kesuvchi kuch ta’siridan balkaning uchidagi kesimda katta miqdordagi urinma kuchlanishlar hosil bo’ladi.
Teng qarshilik ko’rsatuvchi balkalarning oldingi, ya’ni ko’ndalang kesimning balandligi o’zgarmas bo’lgan hol uchun uning uchidagi salqiligini hisoblaymiz. Bu balkaning bikrligi o’zgaruvchi bo’lganligi uchun salqilik . z .. ning funksiyasi bo’ladi:

EJ _z
d ²
d z ²
 M _z
 P 
z , (10.8)

bu yerda: J _z - balka o’zgaruvchi kesimining inersiya momentini ifodalaydi
va eng katta eguvchi momenti ta’sir etayotgan kesimning inersiya momenti . J ₀ .. orqali quyidagicha ifodalanadi:
b h³ b h³ z

0

z
J  ^z  ⁰ z  J ; b  x .
z 12 12𝑙 𝑙
Buni e’tiborga olsak, (10.8) quyidagi ko’rinishni oladi:

^z EJ
𝑙
d ²

0
d z ²
 M _z
 P  z ;
d ²
EJ _{0 d z 2}
 P 𝑙.

Bu ifodani ikki marta integrallaymiz:

𝑙

2

2
EJ ^d  P .z  C ,
0 d z
EJ ₀
 P 𝑙. ^z

• 
  Cz  D
  

(a)

(a).. tenglamalardagi S va D sonlar quyidagi
.  0 ; ^d  0 ... shartlardan topiladi:
d z
z  𝑙 ... bo’lganda

0  P 𝑙²  C ;
C  P 𝑙² ;
0  ¹ P 𝑙³  C 𝑙  D ; D   ¹ P 𝑙³
(b)

2 2

(b).dagi S va D larning qiymatlarini ..(a). ga qo’yib quyidagilarni topamiz:

 ^'  
_{ } P 𝑙
EJ _0
 P 𝑙²

z

z 
EJ _0
 P 𝑙²
EJ ₀
(1  ^z );
𝑙

  
2
P 𝑙 z ² _ P 𝑙
P 𝑙²
_{ } P 𝑙³
(1  2
z z ²


);

EJ ₀ 2
EJ ₀
2EJ ₀
2EJ ₀
𝑙 𝑙²

Agar . z  0 .. bo’lsa, ya’ni balkaning erkin uchidagi salqiligi eng katta bo’lib, u quyidagicha topiladi:

^f( z 0)
_{ } P 𝑙³
2EJ
(10.9)

0
Balkaning butun uzunligi bo’ylab . J ₀ .. o’zgarmas bo’lsa, . quyidagiga teng bo’ladi.
^f( z 0) ^...

^f( z 0)
_{ } P 𝑙³
3EJ
(10.10)

0
Bulardan ko’rinadiki, teng qarshilik ko’rsatuvchi balkaning salqiligi ko’ndalang kesimi o’zgarmas bo’lgan balkaning salqiligidan bir yarim barobar ko’p bo’lib, bunday balkalarga nisbatan bir muncha egiluvchan bo’ladi.
Shu sababli teng qarshilik ko’rsatuvchi balkalardan materialni tejashdan ham ko’ra, listlardan yoki ulardan kesilgan polosalardan yasalgan ressora sifatida foydalaniladi. Polosalarning ko’rinishi rombsimon ko’rinishda bo’lib, ularning qarshilik momenti bilan inersiya momentlari bir xil bo’lganligi sababli ulardan tuzilgan ressora mustahkamlik va bikrlik jihatidan asosiy balkaga taxminan ekvivalent bo’ladi.
Rombsimon shaklidagi polosalardan tuzilgan ressoraning polosalari orasidagi ishqalanishi sezilarli bo’lmasa, uning salqiligi asosiy balkaning salqiligidan farq qilmaydi.