14-amaliy mashg`ulot. Gilbert-Shmidt teoremasi

5. Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
Yechimi. va bo‘lsin . U holda

ya’ni yoki Endi ekanligidan, ya’ni haqiqiy son.
6. Hilbert fazosidagi har bir kompakt operator chekli o‘lchamli operatorlar ketma-ketlikning tekis limiti ekanligini isbotlang.
Yechimi. Faraz qilaylik, ketma-ketlik kompakt operatorining modullari bo‘yicha kamayish tartibida yozilgan xos sonlari, xos vektorlardan iborat ortonormal basis bo‘lsin. U holda har bir uchun

tengligi o‘rinlidir. Har bir uchun

Operatorini aniqlaymiz. Bunda chekli o‘lchamli operatorlardir. Endi uchun


Bundan,

7. Hilbert fazosi, bu fazoda ortonormal bazis, nolga monoton kamayuvchi sonlar ketma-ketligi bo‘lsin. Har uchun
.
chegaralangan operator va har bir uning xos sonlari ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. uchun

ya’ni

Endi vektori uchun

ya’ni

Bundan

Endi

ekanligidan har bir operatorning xos sonidir.
8. Hilbert fazosi va kompakt operator bo’lsa , u holda operatori qiymatlari sohasi yopiq ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. Aytaylik, va bo‘lsin. U holda shunday vektori topilib,
(7.14)
tengligi bajariladi. Har bir vektoridan uning qism fazoga proyeksiyasini ayirib, vektorini ga ortogonal etib olish mumkin. Endi ketma-ketlikning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘lsin. U holda qismiy ketma-ketlikka o‘tib, deb olish mumkin. Endi (7.14) tenglikdan
(7.15)
operatori kompakt ekanligidan, yana qismiy ketma-ketlikka o’tib, yaqinlashuvchi deb olishimiz mumkin. U holda ketma-ketlik ham birlik normali biror vektoriga yaqinlashadi. (7.15) formuladan, ya’ni . Endi ekanligidan . Demak, va . Bundan . Bu esa tengligiga zid. Hosil bo‘lgan ziddiyatdan, ketma-ketlikning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi.
Yana qismiy ketma-ketlikka o‘tib, yaqinlashuvchi deb olishimiz mumkin. U holda (7.14) dan yaqinlashuvchi bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin. Yana (7.14) tenglikdan kelib chiqadi. Bunday , ya’ni yopiq qism fazo.