14-amaliy mashg`ulot. Gilbert-Shmidt teoremasi

9. fazosida operatori quyidagi

formula orqali aniqlanadi. U holda

1. 
   operatorning kompakt ekanligini ko’rsating;
   
2. 
   operatorining bironta xos soni yo‘qligini ko‘rsating.
   

Yechimi. a) va bo‘lsin. Har bir uchun ekanligidan, Agar bo‘lsa, u holda Bundan Demak, nuqta asosiy parallelipipedda joylashgan va asosiy parallelipipedning kompaktligidan birlik shar obrazi nisbiy kompakt bo‘ladi. Bundan kompakt operator.

3. 
   Faraz qilaylik, soni operatorning xos soni bo‘lsin. U holda noldan farqli vektori topilib, tengligi, ya’ni
   

tengligi bajariladi. Bundan va bo‘lganda
Agar bo‘lsa, tengligidan kelib chiqadi. Agar bo‘lsa, va tengliklardan kelib chiqadi, ya’ni . Bu esa ekanligiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va operatorning xos soni mavjud emas.
10. operatori

formula orqali aniqlansa, u holda kompakt operatori ekanligini isbotlang.
Yechimi. operatorini quyidagi shaklda ifodalaymiz;

bunda Bundan chekli o‘lchamli operator va demak, kompakt operator bo‘ladi.
Savollar.

1. 
   Gilbert-Shmidt teoremasi algebra kursidagi qaysi teoremaga o’xshash?
   
2. 
   Gilbert-Shmidt teoremasi qanday operatorlar uchun kiritilgan?
   
3. 
   Gilbert-Shmidt teoremasida har bir element yagona usulda ortonormal sistema orqali qanday tasvirlanadi?
   
4. 
   Qanday to’plam kuchsiz ma’nodagi kompakt to’plam deyiladi?
   
5. 
   Hilbert fazosida kompakt, o‘z-o‘ziga qo‘shma, chiziqli operator berilgan bo‘lib, - uning barcha nolmas xos qiymatlari ketma-ketligi bo‘lsin. Agar nolmas xos qiymatlar soni cheksiz bo‘lsa, u holda ifoda nimaga teng?
   
6. 
   Gilbert-Shmidt teoreasidagi har bir element yagona usulda
   

ko‘rinishda tasvirlanadi, bu yerda vektor qanday shartni qanoatlantiradi?

7. 
   o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator va bo‘lsin. Agar funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, ekanligini ko’rsating?
   
8. 
   o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator va bo‘lsin. Agar funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda ekanligidan qanday tenglik kelib chiqadi?
   
9. 
   Agar o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator bo‘lib, funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda biror son uchun tenglik o‘rinli ekanligini isbotlang?
   
10. 
    O‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o‘zaro qanday bo’ladi?