14-amaliy mashg`ulot. Gilbert-Shmidt teoremasi

3. 2-misolda qaralgan operator Hilbert-Shmidt teoremasi shartlarini qanoatlantiradi. Uning xos qiymatlari va xos funksiyalarini toping.
Yechish. Xos qiymatga nisbatan tenglama ya’ni

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani quyidagicha ham yozish mumkin.
(2)
Bu yerda
(3)
Ikki holni alohida qaraymiz: i) ii)
i). Bu holda ga ega bo‘lamiz. va elementlar chiziqli bog‘lanmagan, shuning uchun (18.6) ko‘ra
(4)
bo‘ladi. (4) shartni qanoatlantiruvchi elementlar to‘plami operatorning yadrosini tashkil qiladi va Boshqacha aytganda, (4) shartni qanoatlantiruvchi elementlar to‘plami va elementlarga ortogonal qism fazo. Bu qism fazoda

sistema ortonormal bazis bo‘ladi. Demak, son operator uchun cheksiz karrali xos qiymat bo‘ladi.
Endi bo‘lsin, ya’ni ii) holni qaraymiz. (2) dan foydalansak, tenglamaning yechimi uchun quyidagi ko‘rinishni olamiz:
(5)
Bu yerda va koeffitsiyentlar noma’lumlar, chunki ular izlanayotgan funksiyaning integrali orqali ifodalangan. Agar biz ning (5) ifodasini (3) ga qo‘ysak, va noma’lumlarga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:

Bu tenglama faqatgina da nolmas yechimga ega. Bu holda va lar sifatida ixtiyoriy sonni olish munkin. (5) ga ko‘ra
(6)
xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya bo‘ladi. Demak, operatorning yadrosi ikki o‘lchamli ekan. Bundan xos qiymatning karrasi 2 ekan
ligi kelib chiqadi.
Agar biz 2-misolda qaralgan operatorga Hilbert-Shmidt teoremasini qo‘llasak, va ekanligini hosil qilamiz.
4. Kompakt operatorlarning muhim sinfi sifatida fazodagi integral operatorlarni qarash mumkin. Masalan, har bir elementga

formula bo‘yicha ta’sir qiluvchi operatorni qaraymiz. Bu yerda integral operator yadrosi da uzluksiz funksiya.