14-amaliy mashg`ulot. Gilbert-Shmidt teoremasi

Endi kompakt operatorlarga misollar keltiramiz.
1. Hilbert fazosida ga ko‘paytirish operatorini, ya’ni

operatorni qaraymiz. bo‘lishi uchun
(1)
shartning bajarilishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
Isbot. Yetarliligi. (1) shart bajarilsin. Agar biz operatorga tekis yaqinlashuvchi kompakt operatorlar ketma-ketligi mavjud ekanligini ko‘rsatsak, u holda agar operatorlar ketma-ketligi operatorga norma bo’yicha yaqinlashsa, u holda kompakt operator bo‘ladi. operatorlarni quyidagicha quramiz:

ga ko‘ra har bir da operatorlar kompakt. Bundan tashqari operatorlar ketma-ketligi operatorga tekis yaqinlashadi. Haqiqatan ham, sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi uchun u chegaralangan bo‘ladi.

Endi ekanligini ko‘rsatamiz.

Agar biz sonli ketma-ketlikning nolga yaqinlashuvchi ekanligidan foydalansak,

ekanligini olamiz. Demak,

Demak, kompakt operator bo‘ladi.
Zaruriyligi. Faraz qilaylik, kompakt operator bo‘lsin. U holda nolga kuchsiz yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun ketma-ketlik nolga intiluvchi bo‘ladi. Nolga kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlik sifatida fazodagi ortonormal bazis ni olamiz. U holda quyidagi tenglik o‘rinli. ketma-ketlikning nolga intilishidan

ni olamiz. Demak, (1) shart bajariladi.
2. Quyidagi integral operatorni, ya’ni

operatorni qaraymiz. operator Hilbert-Shmidt teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?
Yechish. Agar biz ayniyatdan foydalansak,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda

Demak, ixtiyoriy element va larning chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanadi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.

Bu yerda biz Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalandik. Agar tengsizlikni e'tiborga olsak,

ga ega bo‘lamiz. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, 2-teoremaga ko‘ra operator kompakt bo‘ladi.
fazoda yadroli integral operatorning qo‘shmasi topilib, integral operatorning o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishligining zarur va yetarli sharti ko‘rinishda bo‘lishligi keltirilgan edi. Qaralayotgan operator uchun bu shartning bajarilishini tekshiramiz. Bizning holimizda bo‘lgani uchun

tenglik o‘rinli. Demak, Shunday qilib operator uchun Hilbert-Shmidt teoremasi shartlari bajariladi.