1-Teorema
. Taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1)
{
}
;
2)
;
3) Zichlik funksiya uzluksiz bo’lgan nuqtalarda
{ }
►1) Taqsimot funksiyasining 4-xossasiga binoan
{
}
Bundan esa uzluksiz tasodifiy miqdorning ta’rifiga va xosmas integralning xossalariga
ko’ra
2) Xususiy holda
va
bo’lganda
{
}
hodisa muqarrar bo’ladi
va shu sababli ikkinchi tasdiq o’rinli.
3) Taqsimot funksiyasining 4-xossasiga binoan
{ }
Differensiallanuvchi funksiyaning orttirmasi yetarli kichik
larda uning differensialiga
teng:
◄
Ayrim uzluksiz tasodifiy miqdorlar
Biz quyida amaliyotda ko’p uchraydigan ayrim uzluksiz tasodifiy miqdorlarni qarab
chiqamiz. Bu yerda keltiriladigan
funksiyalar taqsimot funksiyasi bo’lishi o’tgan
mavzudagi 1-Mulohazadan kelib chiqadi va uni tekshirib o’tirmaymiz.
Tekis taqsimot.
Agar tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi
{
𝑦 𝑓 𝑥
𝐹 𝑥
𝑥
𝑥
𝑦
1-rasm
111
tenglik bilan berilsa, bunday tasodifiy miqdorni
[ ]
kesmada
tekis taqsimlangan
tasodifiy miqdor
deb ataymiz.
taqsimot funksiyasini (1) formulaga ko’ra topamiz. Agar
bo’lsa,
,
agar
bo’lsa,
va nihoyat
bo’lsa,
bo’ladi. Shunday qilib ularni umumlashtircak
{
taqsimot funksiyasini hosil qilamiz.
Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor
zichlik funksiyasi va
taqsimot
funksiyasining grafiklari 2 va 3-rasmlarda berilgan.
Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning
[ ]
kesmaning ichida yotgan
oraliqqa tushish ehtimoli
tenglik bilan aniqlanadi,
ya’ni bu ehtimol
oraliq uzunligiga proporsional. Demak tekis taqsimot nuqtani
[ ]
kesmaga tashlanganda hisoblanadigan geometrik ehtimol bilan bir xil ekan.
Eksponensial taqsimot.
Agar tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi
{
tenglik bilan aniqlansa, bunday tasodifiy miqdor
eksponensial
(
ko’rsatkichli
)
qonun
bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deb ataladi, bu yerda
eksponensial
taqsimotning parametri.
Eksponensial qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot
funksiyasini (1) formula bo’yicha topamiz. Agar
bo’lsa,
𝑓 𝑥
𝑏 𝑎
𝑎
𝑏
𝑥
2-rasm
𝑎
𝑏
𝑥
𝐹 𝑥
3-rasm
112
va agar
bo’lsa,
|
bo’ladi. Ularni umumlashtirib
{
taqsimot funksiyasining formulasini hosil qildik.
Eksponensial taqsimlangan tasodifiy miqdor
zichlik funksiyasi va
taqsimot funksiyasining grafiklari 4 va 5-rasmlarda berilgan.
Eksponensial taqsimlangan tasodifiy miqdor faqat musbat qiymatlarni qabul qilishi
mumkin.
Eksponensial taqsimot bilan Puasson taqsimoti bir-biriga bog’liq. Agar birorta
hodisaning ketma-ket yuz berishlari orasidagi vaqt oraliqlari o’zaro bog’liq bo’lmagan
eksponensial taqsimlangan (bir xil
parametrli) tasodifiy miqdor bo’lsa, u holda bu
hodisaning
vaqt oralig’ida yuz berishlari soni
parametrli Puasson taqsimotli diskret
tasodifiy miqdor bo’ladi.
Normal taqsimot
Taqsimotning zichlik funksiyasi
√
ko’rinishga ega bo’lgan tasodifiy miqdor
normal
(
gauss
)
qonuni
bo’yicha taqsimlangan
tasodifiy miqdor deyiladi.
Bu funksiya uchun zichlikning 2-xossasi bajarilishini tekshiramiz. Buning uchun
Puasson integrali deb ataluvchi
√
integraldan foydalanamiz:
√
|
√
√
|
√
√
4-rasm
𝑓 𝑥
𝑥
𝜆
5-rasm
𝑥
𝐹 𝑥
4-
113
√
√
funksiyaning boshlang’ichini elementar funksiyalar orqali ifodalab
bo’lmaydi. Shuning uchun normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
√
ko’rinishda bo’ladi.
va
parametrlarning turli qiymatlarida normal taqsimotning
zichlik
funksiyasi va
taqsimot funksiyasining grafiklari 6 va 7-rasmlarda keltirilgan.
Rasmlardan ko’rinib turibdiki,
parametr normal taqsimot zichlik funksiyasining
simmetriya markazini aniqlar ekan, ya’ni normal taqsimot zichlik funksiyasining grafigi
to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladi,
esa tasodifiy miqdor qiymatlarining
simmetriya markaziga nisbatan sochilishini aniqlar ekan. Agar
va
bo’lsa,
taqsimot
normal standart taqsimot
deb ataladi va taqsimot funksiyasini
orqali,
zichlik funksiyasini esa
orqali belgilanadi. Standart normal taqsimot funksiyasini va
zichligini Muavr-Laplasning lokal va integral formulalarida ko’rgan edik.
va
parametrli normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni
[ ]
orqali
belgilaymiz.
Bir o’zgaruvchili funksiyalarning integral kursidan ma’lumki
integralni
elementar funksiyalar orqali ifodalab bo’lmaydi. Shuning uchun ko’pgina oily
matematikaga oid adabiyotlarda standart normal taqsimot funksiyasining qiymatlari
berilgan. 2-ilovadan foydalanib ixtiyoriy
va
parametrli normal qonun bo’yicha
taqsimlangan tasodifiy miqdorning
oraliqga tushish ehtimolini topishni ko’rsatamiz.
Taqsimot zichlik funksiyasining 1) xossasiga binoan
va
parametrli normal
qonun bo’yicha taqsimlangan
tasodifiy miqdorning
intervalga tushish ehtimoli
{ }
√
tenglik bilan aniqlanadi. Bu yerda
almashtirish olsak, so’ngi integralni
6-rasm
𝜑
𝑚 𝜎
𝑥
𝑥
𝑚
𝜎
𝑚
𝜎
𝑚
𝜎
7-rasm
𝑚
𝜎
𝑚
𝜎
𝑚
𝜎
𝑥
𝑚 𝜎
𝑥
114
{ }
√
ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa oxirgi asosiy
{ }
(3)
formulani hosil qilamiz.
Veybulla taqsimoti.
Agar tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi
{
ko’rinishda bo’lsa, bunday tasodifiy miqdor
Veybulla qonuni
bo’yicha taqsimlangan
deyiladi. Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
{
ko’rinishda bo’lishini oson tekshirish mumkin.
Veybulla taqsimotlari oilasi ikki
parametrli bo’lib, ular musbat tasodifiy
miqdorlarni aniqlaydi.
Ko’pgina texnik jihozlarning buzilmasdan ishlash vaqti Veybulla taqsimotiga
bo’ysinadi. Agar
bo’lsa, Veybulla taqsimoti eksponensial taqsimotga aylanadi.
bo’lganda
{
Releya taqsimotiga ega bo’lamiz.
Gamma-taqsimot.
Ko’pgina texnik jihozlarning buzilmasdan ishlash vaqtini
tasvirlovchi boshqa bir taqsimot
gamma-taqsimot
bo’lib, uning zichlik funksiyasi
{
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda
bo’lib, u Eyler gamma-funksiasi deb ataladi. Bu funksiya ushbu muhim xossalarga ega:
va butun
uchun
bo’ladi.
natural son bo’lsa,
tartibli
Erlang taqsimotini
hosil qilamiz. Agar
,
toq son va
bo’lsa, matematik statistikada juda ko’p qo’llaniladigan
{
(
xi kvadrat
) taqsimotni hosil qilamiz, bu yerda
parametr
taqsimotning erkinlik
darajasi
deb ataladi. Nihoyat,
bo’lsa, yuqorida qaralgan eksponensial taqsimotni
hosil qilamiz.
115
1-Misol
.
tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi
{
tenglik bilan berilgan bo’lsa,
1)
koeffisiyentni toping;
2)
taqsimot zichlik funksiyasining grafigini yasang;
3)
taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini yasang;
4)
tasodifiy miqdorning
oraliqqa tushish ehtimolligini toping.
►1.
koeffisiyentni topish uchun zichlik funksiyasining 2-xossasidan foydalanamiz:
va bundan
qiymatni topamiz.
2.
taqsimot zichlik funksiyasining grafigi 8-rasmda tasvirlangan.
3.
taqsimot funksiyasini (1) formulaga ko’ra topamiz:
agar
bo’lsa,
;
agar
bo’lsa,
agar
bo’lsa,
bo’ladi. Bu uchta ifodani birlashtirib taqsimot funksiyasining
{
formulasini hosil qilamiz, uning grafigi 9-rasmda tasvirlangan.
4.
tasodifiy miqdorning
oraliqqa tushish ehtimolligini taqsimot funksiyasining
4-xossasiga binoan topamiz:
,
- (
)
.(
) /
√
116
8-rasm
𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑓 𝑥
𝑥
9-rasm
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑥
𝐹 𝑥
Do'stlaringiz bilan baham: |