13-ma‟ruza Tasodifiy miqdor tushunchasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni. Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining taqsimot funksiyasi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi



Download 0,78 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/4
Sana11.01.2022
Hajmi0,78 Mb.
#352470
1   2   3   4
Bog'liq
13 ma'ruza (1)

1-Teorema

. Taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 

1) 

 { 


 

       


 

}    


 

 

 



 

      


2) 


 

  

  



          

3) Zichlik funksiya uzluksiz bo’lgan nuqtalarda  



 {              }          

 

►1) Taqsimot funksiyasining 4-xossasiga binoan 



 { 

 

       



 

}      


 

       


 

  

 



Bundan  esa  uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  ta’rifiga  va  xosmas  integralning  xossalariga 

ko’ra 


   

 

       



 

     


 

 

  



          

 

 



  

          

 

 

 



 

       


 

2) Xususiy holda 

 

 

    



 va 

 

 



    

 bo’lganda 

 

       



 

}

 hodisa muqarrar bo’ladi 



va shu sababli ikkinchi tasdiq o’rinli. 

3) Taqsimot funksiyasining 4-xossasiga binoan 

 {              }                            

 

Differensiallanuvchi  funksiyaning  orttirmasi  yetarli  kichik



  

 larda  uning  differensialiga 

teng: 

                 



 

      


◄ 

Ayrim uzluksiz  tasodifiy miqdorlar 

Biz quyida amaliyotda ko’p uchraydigan ayrim uzluksiz tasodifiy miqdorlarni qarab 

chiqamiz.  Bu  yerda  keltiriladigan

    


 funksiyalar  taqsimot  funksiyasi  bo’lishi  o’tgan 

mavzudagi 1-Mulohazadan kelib chiqadi va uni tekshirib o’tirmaymiz. 



Tekis taqsimot.

 Agar tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi 

       {

 

     



                          

                                 

 

𝑦   𝑓 𝑥 


 

𝐹 𝑥


 

 

 



𝑥

 

 

𝑥

 

𝑦

 

 

 

1-rasm 



111 

 

tenglik  bilan  berilsa,  bunday  tasodifiy  miqdorni 



[    ]

 kesmada 



tekis  taqsimlangan 

tasodifiy miqdor

 deb ataymiz. 

 

    


taqsimot funksiyasini (1) formulaga ko’ra topamiz. Agar 

     


 bo’lsa,  

        


 

  

          



 

  

       



agar 


         

 bo’lsa, 

        

 

  



          

 

  



       

 

 



 

     


    

     


     

  

 



va nihoyat 

     


 bo’lsa, 

        


 

  

          



 

  

       



 

 

 



     

      


 

 

       



 

bo’ladi. Shunday qilib ularni umumlashtircak 

       {

                     

     

     


              

                    

 

taqsimot funksiyasini hosil qilamiz. 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor 



    

 zichlik  funksiyasi  va 

    

 taqsimot 



funksiyasining grafiklari 2 va 3-rasmlarda berilgan. 

 

Tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning 



[    ]

 kesmaning  ichida  yotgan 

  

 

   



 

 

 



oraliqqa  tushish  ehtimoli 

   


 

       


 

      


 

   


 

         

 tenglik  bilan  aniqlanadi, 

ya’ni  bu  ehtimol   

  

 

   



 

 

 oraliq  uzunligiga  proporsional.  Demak  tekis  taqsimot  nuqtani 



[    ]

 kesmaga tashlanganda hisoblanadigan geometrik ehtimol bilan bir xil ekan. 



Eksponensial taqsimot.

 Agar tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi 

       {

                    

  

   


         

 

tenglik  bilan  aniqlansa,  bunday  tasodifiy  miqdor 



eksponensial

  (


ko’rsatkichli



qonun 

bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor  deb  ataladi,  bu  yerda 

       


eksponensial 

taqsimotning parametri. 

 

Eksponensial  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot 



funksiyasini (1) formula bo’yicha topamiz. Agar 

     


  bo’lsa, 

𝑓 𝑥 


 

 

𝑏   𝑎



 

𝑎

 



𝑏

 

𝑥



 

 

 



2-rasm 

𝑎

 



𝑏

 

𝑥



 

 

 



 

 

𝐹 𝑥 



 

3-rasm 



112 

 

        



 

  

          



 

  

        



 

va agar 


     

 bo’lsa, 

        

 

  



          

 

  



       

 

 



  

   


       

   


|

 

 



       

   


 

bo’ladi. Ularni umumlashtirib 

       {

                         

     

   


         

 

taqsimot funksiyasining formulasini hosil qildik. 



Eksponensial  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor 

    


 zichlik  funksiyasi  va 

    


 

taqsimot funksiyasining grafiklari 4 va 5-rasmlarda berilgan. 

Eksponensial  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor  faqat  musbat  qiymatlarni  qabul  qilishi 

mumkin. 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



Eksponensial  taqsimot  bilan  Puasson  taqsimoti  bir-biriga  bog’liq.  Agar  birorta 

hodisaning  ketma-ket  yuz  berishlari  orasidagi  vaqt  oraliqlari  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan 

eksponensial  taqsimlangan  (bir  xil 

 

 parametrli)  tasodifiy  miqdor  bo’lsa,  u  holda  bu 



hodisaning 

 

 vaqt  oralig’ida  yuz  berishlari  soni 



  

 parametrli  Puasson  taqsimotli  diskret 

tasodifiy miqdor bo’ladi. 

Normal taqsimot 

Taqsimotning zichlik funksiyasi 

 

   


     

 

 √  



 

 

     



 

  

 



 

                    

 

ko’rinishga  ega  bo’lgan  tasodifiy  miqdor 



normal

  (


gauss



qonuni 

bo’yicha  taqsimlangan 

tasodifiy miqdor deyiladi.  

 

Bu  funksiya  uchun  zichlikning  2-xossasi  bajarilishini  tekshiramiz.  Buning  uchun 



Puasson integrali deb ataluvchi 

 

 



  

 

  



 

     √ 


 

integraldan foydalanamiz: 

 

 

  



 

 √  


 

 

     



 

  

 



     |

   


     

√  


       √    

                            

|  

√  


 √  

 

 



  

 

  



 

    


 

4-rasm 


𝑓 𝑥 

 

𝑥



 

  

 



𝜆

 

5-rasm 



𝑥

 

  



 

 

 



𝐹 𝑥 

4-



113 

 

 



 

√ 

√      



 

 

 



   

   


funksiyaning  boshlang’ichini  elementar  funksiyalar  orqali  ifodalab 

bo’lmaydi. Shuning uchun normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 

 

   


     

 

 √  



 

 

  



 

 

     



 

  

 



  

 

ko’rinishda bo’ladi. 

 

 

 va 



 

 parametrlarning  turli  qiymatlarida  normal  taqsimotning 

 

   


   

 zichlik 

funksiyasi va 

 

   



   

 taqsimot funksiyasining grafiklari 6 va 7-rasmlarda keltirilgan.



 

Rasmlardan  ko’rinib  turibdiki, 

 

parametr  normal  taqsimot  zichlik  funksiyasining 



simmetriya  markazini  aniqlar  ekan,  ya’ni  normal  taqsimot  zichlik  funksiyasining  grafigi 

     


 to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladi, 

   


esa tasodifiy miqdor qiymatlarining 

simmetriya  markaziga  nisbatan  sochilishini  aniqlar  ekan.  Agar 

     

 va 


     

 bo’lsa, 

taqsimot 

normal  standart  taqsimot 

deb  ataladi  va  taqsimot  funksiyasini 

    

 orqali, 



zichlik funksiyasini esa 

    


 orqali belgilanadi. Standart normal taqsimot funksiyasini va 

zichligini Muavr-Laplasning lokal va integral formulalarida ko’rgan edik. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 va 

 

 parametrli  normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorni 



     [    ]

 orqali 


belgilaymiz. 

Bir  o’zgaruvchili  funksiyalarning  integral  kursidan  ma’lumki

   

  

 



  

  

 integralni 



elementar  funksiyalar  orqali  ifodalab  bo’lmaydi.  Shuning  uchun  ko’pgina  oily 

matematikaga  oid  adabiyotlarda  standart  normal  taqsimot  funksiyasining  qiymatlari 

berilgan.  2-ilovadan  foydalanib  ixtiyoriy 

 

 va 



 

 parametrli  normal  qonun  bo’yicha 

taqsimlangan tasodifiy miqdorning 

      


 oraliqga tushish ehtimolini topishni ko’rsatamiz. 

Taqsimot  zichlik  funksiyasining  1)  xossasiga  binoan 

 

 va 


 

 parametrli  normal 

qonun bo’yicha taqsimlangan 

 

 tasodifiy miqdorning 



      

 intervalga tushish ehtimoli 

 {         }    

 

 



 

   


       

 

 √  



 

 

 



 

 

     



 

  

 



  

 

tenglik bilan aniqlanadi. Bu yerda

             

 almashtirish olsak, so’ngi integralni 

6-rasm 

 

 



  

 

 



 

 

 



 

𝜑

𝑚 𝜎



 𝑥 

 

𝑥



 

𝑚     


 

𝜎      


 

𝑚    


 

𝜎    


 

𝑚    


 

𝜎    


 

7-rasm 


𝑚     

 

𝜎      



 

   


𝑚    

 

𝜎    


 

   


𝑚    

 

𝜎    



 

   


 

 

𝑥



 

 

 



  

 

  



 

  

 



 

 

 



 

 

 



 

𝑚 𝜎


 𝑥 

 



114 

 

 {         }  



 

       


       

 

√  



 

  

 



  

    


 

       


       

      


 

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa oxirgi asosiy 

 {         }    

 

               



 

           

                (3) 

formulani hosil qilamiz. 



Veybulla taqsimoti.

 Agar tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi 

       {

                                                                 

   

   


 

   


 

                           

 

ko’rinishda  bo’lsa,  bunday  tasodifiy  miqdor 



Veybulla  qonuni

  bo’yicha  taqsimlangan 

deyiladi. Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 

       {


                                                         

     


   

 

                           



 

ko’rinishda bo’lishini oson tekshirish mumkin. 

 

Veybulla  taqsimotlari  oilasi  ikki 



      

parametrli  bo’lib,  ular  musbat  tasodifiy 

miqdorlarni aniqlaydi. 

 

Ko’pgina  texnik  jihozlarning  buzilmasdan  ishlash  vaqti  Veybulla  taqsimotiga 



bo’ysinadi. Agar 

     


 bo’lsa, Veybulla taqsimoti eksponensial taqsimotga aylanadi.  

     


 bo’lganda 

       {


                                            

    


   

 

                    



 

Releya taqsimotiga ega bo’lamiz. 



Gamma-taqsimot.

  Ko’pgina  texnik  jihozlarning  buzilmasdan  ishlash  vaqtini 

tasvirlovchi boshqa bir taqsimot 

gamma-taqsimot

 bo’lib, uning zichlik funksiyasi 

       {

                                                      

 

 

 



 

  

  



 

 

 



   

                    

 

    


 

ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 

  

 

     



  

 

 



 

 

  



  

 

bo’lib,  u  Eyler  gamma-funksiasi  deb  ataladi.  Bu  funksiya  ushbu  muhim  xossalarga  ega: 



  

 

      



 

  

 



 

 va butun 

 

 uchun 


               

 bo’ladi. 

 

 

     



natural  son  bo’lsa, 

   


tartibli 

Erlang  taqsimotini

  hosil  qilamiz.  Agar 

 

     


   


toq son va 

       


 bo’lsa, matematik statistikada juda ko’p qo’llaniladigan 

       {


                                              

 

 



   

      


 

 

   



 

 

 



 

         

 

 

 



 (

xi  kvadrat

)  taqsimotni  hosil  qilamiz,  bu  yerda 

   

parametr 



 

 

 



taqsimotning  erkinlik 

darajasi

  deb  ataladi.  Nihoyat, 

 

   


 bo’lsa,  yuqorida  qaralgan  eksponensial  taqsimotni 

hosil qilamiz. 




115 

 

1-Misol

 

 tasodifiy miqdor taqsimotining zichlik funksiyasi 



       {

                      

                        

 

tenglik bilan berilgan bo’lsa, 



1)

 

 



 koeffisiyentni toping; 

2)

 



    

 taqsimot zichlik funksiyasining grafigini yasang; 

3)

 

    



 taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini yasang; 

4)

 



  

 tasodifiy miqdorning 

        

 oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 

►1. 

 

 koeffisiyentni topish uchun zichlik funksiyasining 2-xossasidan foydalanamiz: 



 

  

  



          

   


    

                     

 

va bundan 



       

 qiymatni topamiz. 

2. 

    


 taqsimot zichlik funksiyasining grafigi 8-rasmda tasvirlangan. 

3. 


    

 taqsimot funksiyasini (1) formulaga ko’ra topamiz: 

agar 

        


 bo’lsa,  

        


 

  

          



 

  

       



agar 


         

 bo’lsa, 

        

 

  



          

    


  

       


 

    


 

 

             



 

 

            



 

agar 


       

 bo’lsa, 

        

 

  



          

    


  

       


   

    


 

 

               



 

   


       

 

bo’ladi. Bu uchta ifodani birlashtirib taqsimot funksiyasining 



      

{

 



 

 

                                  



 

 

 



 

 

                    



 

 

 



                          

 

 



 

formulasini hosil qilamiz, uning grafigi 9-rasmda tasvirlangan. 

4. 

 

 tasodifiy  miqdorning 



        

 oraliqqa  tushish  ehtimolligini  taqsimot  funksiyasining 

4-xossasiga binoan topamiz: 

  ,       

 

 

-     (



 

 

)         



 

 

  .(   



 

 

   )              /  



√ 

 

 



 

 

 




116 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-rasm 


 𝑥

 

 



𝜋

 

 



 

𝜋

 



 

𝜋

 



 

𝜋

 



 

   


 

𝑓 𝑥 


 

𝑥

 



9-rasm 

  

 



 

𝜋

 



 

 

𝜋



 

 

𝜋



 

 

𝜋



 

 

𝑥



 

𝐹 𝑥 


 

     


 

Download 0,78 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish