13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

13.3. Oddiy kontur uchun Koshining integral teoremasining sodda hol uchun isboti. Faraz qilaylik, sohaga qarashli ixtiyoriy uchburchak, uning perimetri, uchburchak perimetrining uzunligi bo’lsin.U holda ekanligini isbotlash kerak.Teskari fikrni,ya’ni ni faraz qilamiz.

13.5-chizma
uchburchak tomonlari o’rtalarini to’g’ri chiziq kesmalari bilan tutashtiramiz.Natijada uchburchak to’rtta kongruent (teng) uchburchaklarga bo’linadi. Bu uchburchaklarning hech bo’lmaganda biri (uni deb belgilaymiz) uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Aks holda integralning soha chegarasining funksiyasi sifatida additivlik xossasidan va uchburchak tengsizlikdan quyidagi zidlik kelib chiqardi:
.
uchburchakni ham yuqoridagi kabi to’rtta kongruent uchburchaklarga ajratamizki, ulardan hech bo’lmaganda biri (uni bilan belgilaymiz) uchun

tengsizlik o’rinli. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, natijada har biri keyingisini o’z ichida saqlovchi, va uchburchak uchun

o’rinli bo’lgan uchburchaklarning ketma-ketligini hosil qilamiz.
Kompleks sonlar limitlari nazariyasining asosiy prinsipiga binoan sohada yagona nuqta topiladiki, u barcha uchburchaklarga qarashli bo’ladi. Bu nuqtada funksiya differensiallanuvchi, ya’ni son uchun shunaqa son mavjudki, har bir uchun

yoki
(13.8)
tengsizlik o’rinlidir.
da uchburchaklar nuqtada cheksiz tortilib borganligi tufayli shunaqa nomer topiladiki, tengsizlik uchun barcha . U holda ma’ruza 13.1-qismidagi (13.2) formula, (13.8) tengsizlik va integralning xossasiga ko’ra tengsizlik uchun

. (13.9)
va (13.9) tengsizliklarni solishtirib, yoki ga ega bo’lamiz. Bundan esa bizning degan farazimizga qarama-qarshidir. Demak, farazimia noto’g’ri. 13.2-Teorema isbot bo’ldi.