12-ma`ruza. Differentsial tenglamalar. Asosiy tushunchalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar

12-MA`RUZA. DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR. ASOSIY TUSHUNCHALAR. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

Birinchi tartibli differentsial tenglama, umumiy holda

(1)

ko`rinishda bo`ladi. Bu yerda -erkli o`zgaruvchi, -noma`lum funktsiya, esa funktsiyaning hosilasi.

Faraz qilaylik, (1) tenglama ga nisbatan yechilgan bo`lsin:

(2)

Odatda (2) tenglama, hosilaga nisbatan yechilgan differentsial tenglama deyiladi.

(2) tenglama funktsiya hosilasi ni () teislikdagi biror sohada berilgan funktsiya bilan bog`lovchi tenglikdir. Ravshanki, bu tenglik ma`noga ega bo`lishi uchun har bir da bo`lishi lozim.

Agar funktsiya da aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, ixtiyoriy da va

bo`lsa, ya`ni (2) tenglama larda ayniyatga aylansa, funktsiya (2) tenglamaning yechimi deyiladi.

Aytaylik, funktsiya (2) differentsial tenglamaning yechimi bo`lsin. Bu funktsiya grafigi, umuman aytganda, egri chiziqni ifodalaydi. Shuning uchun uni (2) differentsial tenglamaning integral chizig`i ham deyiladi.

Birinchi tartibli

(2)

differentsial tenglama cheksiz ko`p yechimlarga ega bo`lib, ular tenglamaning yechimlari to`plamini tashkil etadi.

Ko`p holda (2) differentsial tenglamaning barcha yechimlarini, bitta ixtiyoriy o`zgarmas ga bog`liq bo`lgan

yoki

munosabat bilan umumiy ko`rinishda ifodalash mumkin. Uni differentsial tenglamaning umumiy yechimi deyiladi. Bunda, o`zgarmas ning har bir tayin qiymatida va unga mos lar uchun bo`lishi kerak. O`zgarmas ning har bir qiymatida unga mos yechim hosil bo`ladi. Bunday yechim berilgan differentsial tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.

Misol.

(3)

differentsial tenglamani qaraymiz, bunda

bo`lib, u tekislikning barcha nuqtalarida aniqlangan. Quyidagi

funktsiya berilgan differentsial tenglamaning yechimi bo`ladi, chunki (3) tenglamadagi ning o`rniga ni, ning o`rniga ni qo`ysak, u ayniyatga aylanadi:

Shuningdek,

,

funktsiyalarning har biri (3) tenglamaning yechimi bo`ladi. Bu berilgan differentsial tenglamaning xususiy yechimlaridir.

(3) tenglamaning umumiy yechimi

ko`rinishda bo`lib, bunda - o`zgarmas son.

Aytaylik,

differentsial tenglamaning umumiy yechimi

bo`lsin. Bu yechimdan tenglamaning xususiy yechimini keltirib chiqarish uchun izlanayotgan funktsiya argumenti ning biror qiymatida funktsiya qiymatni () qabul qilinishini bilish yetarlidir. Odatda, argumentning, esa izlanayotgan funktsiyaning boshlang`ich qiymatlari deyiladi. da izlanayotgan funktsiyaning qiymati ga teng bo`lsin, degan shart boshlang`ich shart deyilib, quyidagicha

yoziladi.

Topshiriqlar:

1. 
   Hosilaga nisbatan yechilgan differentsial tenglama.
   
2. 
   differentsial tenglamaning yechimi bo`lishini
   

ko`rsating.