1-Amaliy ish. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar. Bir jinsli va bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar

1-Amaliy ish. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar. Bir jinsli va bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar.
O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar. Quyidagi

(1)

ko’rinishga keltirilgan differentsial tenglamalar o’zgaruvchilari ajralgan differentsial tenglamalar, deb ataladi.

Uning umumiy integrali (1) ni bevosita integrallab topiladi:



5 - m i s o l. O’zgaruvchilari ajralgan

differentsial tenglamaning ikkala tomonini integrallasak:

,

uning

umumiy integralini topamiz. Oxirgi tenglik ma’noga ega bo’lishi uchun bo’lishi shart. Shu sababli, agar uni

ko’rinishda yozib olsak, tenglamaning umumiy yechimi markazi koordinatalar boshida, radiusi bo’lgan kontsentrik aylanalar ekanligi kelib chiqadi.

Eng sodda o’zgaruvchilari ajralgan differentsial tenglamalar quyidagi

yoki

ko’rinishdagi tenglamalardir. Uning umumiy yechimi

bo’ladi.

(2)

ko’rinishdagi yoki

(3)

ko’rinishga keltirilgan har qanday differentsial tenglama o’zga- ruvchilari ajraluvchi differentsial tenglamalar, deb ataladi.

Agar tenglama (2) ko’rinishda berilgan bo’lsa, uni avval

ko’rinishga keltirib olib, keyin yuqoridagidek bevosita integrallab, uning umumiy integrali topiladi:

.

2-m i s o l. Kimyoviy reaktsiya tenglamasi (§1.1, 4-misolni qarang)

yoki

o’zgaruvchilari ajraluvchi tenglama. Masalan, chap tomondagi tenglamani quyidagicha yechamiz:

.

Endi oxirgi tenglikni integrallab yuborsak

.

yoki

.

Bundan

hosil bo’ladi.

Agar tenglama (3) ko’rinishda berilgan bo’lsa, (3) ning ikkala tarafini ifodaga bo’lib yuborsak, u o’zgaruvchilari ajralgan

tenglama ko’rinishiga keladi.

3 - m i s o l. Ushbu

tenglamaning umumiy yechimini topaylik.

Tenglikning ikkala tarafini ifodaga bo’lib yuborib, o’zgaruvchilari ajralgan

tenglamani hosil qilamiz. Bundan

umumiy integralni topamiz. Agar bu tenglikda sinuslarga o’tsak

kelib chiqadi.