1-Amaliy ish. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraluvchi differentsial tenglamalar. Bir jinsli va bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar

2.2. Bir jinsli tenglamalar.

Ta’rif. Agar funktsiya va o’zgaruvchilarga nisbatan 0-darajali bir jinsli funktsiya bo’lsa (13-bob, 9-§ ga qarang), u holda 1-tartibli

(4)

differentsial tenglama bir jinsli, deyiladi.

Oxirgi tenglamaning o’ng tomonidagi funktsiya 0-darajali bir jinsli funktsiya bo’lgani uchun har qanday son uchun

bo’ladi, xususan uchun

,

ya’ni 0-darajali bir jinsli funktsiya erkli o’zgaruvchilar nisbatiga bog’liq bo’ladi.

Shuni e’tiborga olib (4) ni quyidagicha

(5)

yozish mumkin.

Agar bu yerda , ya’ni desak, bo’ladi. Bularni (5) ga olib borib qo’ysak, ga nisbatan differentsial tenglama hosil bo’ladi:

.

Bu tenglamaning o’zgaruvchilarini quyidagi tartibda ajratamiz:

va .

Oxirgi tenglamani integrallagach:

,

natijadagi o’rniga ni qo’yib, berilgan differentsial tenglamaning umumiy yechimini topamiz.

4 - m i s o l. Quyidagi

differentsial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoat- lantiruvchi xususiy yechimi topilsin.

Yechish . Berilgan tenglama bir jinsli (buni tekshirishni o’quvchiga havola qilamiz), shu sababli unda , almashtirish bajaramiz. Natijada

; ;

tenglamaga ega bo’lamiz. Agar oxirgi tenglikni integrallasak:

yoki

kelib chiqadi. Agar bu yerda teskari almashtirish bajarsak, ya’ni o’rniga ni qo’ysak, umumiy yechim hosil bo’ladi. Agar berilgan boshlang’ich shartdan foydalansak: bo’ladi. Bundan ni topamiz. Demak, so’ralgan xususiy yechim ekan.

Eslatma. Quyidagi

ko’rinishdagi tenglama bir jinsli bo’ladi, qachonki va funktsiyalar birjinslik darajalari bir xil bo’lgan funktsiyalar bo’lsa, chunki birjinslik darajalari bir xil bo’lgan funktsiyalar nisbati 0-darajali birjinsli funktsiya bo’ladi (13-bob, 9-§ ga qarang).

5 - m i s o l . , tenglamalar bir jinsli differentsial tenglamalardir.