§12. Geometriyaliq principler. Argument prinsipi. Oblastin’ saqlaniw prinsipi. Argument principi

§12.Geometriyaliq principler. Argument prinsipi. Oblastin’ saqlaniw prinsipi.
Argument principi. Meyli funksiya noqattiń oyıp alınǵan dógereginde golomorf bolsin hám onda nólge aylanbasın. Biz funksiyaniń noqattaǵi lagifmlik qaldıǵı dep usı funksiyanıń noqattaǵı
(1)
logarifmlik tuwındısınıń qaldıǵın aytamız. funksiya bóleklengen arnawlı noqatlarınan tısqarı óziniń nóllerinde nólden ózgeshe bolǵan lagarfmlik qaldıqqa iyebolıwı múmkin. Meyli - funksiyanıń dárejeli nóli hám funksiya noqatta golomorf bolsın, onda qanday da bir dógerekte boladı, bul jerde da golomorf hám nólge teń emes. Sonıń ushın da

bul jerde ekinshi kóbeytiwshi da Teylor qatarına jayıladı hám usı jayılmanıń erkin aǵzası ge teń boladı. Demek da
(2)
bul jerden golomorf funksiyanıń tártipli nólinde logarifmlik tuwindısı bunnan qaldıǵı ge teń bolǵan birinshi tártipli polyusqa iye yekeniń kóriwge boladı, demek nóldegi logarifmlik qaldıq sol nóldiń dárejesine teń.
Eger funksiyanıń tártipli polyusı bolsa onda, demek usı noqatta tártipli nólge iye boladı, al

bolǵanlıqtan onda (2) ni yesapqa alsaq, funksiyaniń tártipli polyusındaǵı logarifmlik tuwındıs - keri belgidegi teń bolǵan birinshi tártipli polyusqa iye, demek polyusdaǵı logarifmlik qaldıq polyusta sol polyustıń tártibine teń boladı keri belgi menen.
Bul islegen túsindirmeler meromorflıq funksiyalardiń nolleri hám polyusları sanların yesaplaw usılın anıqlawǵa múmkinshilik beredi. Yesaplawda tómenegi kelisimge ámel etemiz. Hár bir nól hám polyustı oniń tártibi qansha bolsa, sonsha ret yesaplanadı. Temendegi teorema orınlı.
1-teorema. Meyli funksiya da meromorf hám – oblısttıń shegarası úzliksiz iymek siziq bolsın; jáne shegara funksiya nollerin de, polyusleride saqlamasın. Bunday shartlerde eger hám arqalı tıń oblıstındaǵı barlıq nóller hám polyusları sanın belgilesek , onda
(3)
bunda –baǵıtlanǵan sheǵara.
Dalilleu. bolǵanı ushın, da shekli nóllerge a₁....a_e hám shekli polyuslarǵa b₁....b_m iye, al nóller ya polyuslar saqlanbaǵanlıqtan dógereginde golomorf. Bul funksiyaǵa Koshidiń qaldıqlar haqqındaǵı teoremasın qollanıp
(4)
Yekenin tabamiz.
Bıraq joqarıdaǵı yeskertiu boyınsha
(5)
yekeni belgili, bul jerde n_ν hám p_ν -sáykes a_ν nóldiń hám b_ν polyustiń tártibi. (5) ti (4) ke aparip qoyıp, kiritilgen shártke ámel etsek (3) kelip shiǵadi.
Dálillengen teoremanı geometriyalıq aytıwǵa boladi. shegaranı . jol arqalı ańlatıp hám f(t) arqalı funksiya usı jol boyınsha baslanǵıshın belgilep alayıq, Nyuton – Leibnic formulası boyınsha
f - f ( ) (6)
Bıraq yekeni anıq, bul jerde boyınsha úzliksiz ózgeriushi logarifmniń qálegen shaqası.
hám funksiya bir mánisli bolǵanlıqtan, onda usı shaqanı belgilep alıw ushın argf ti bólek alsaq jeterli ( olda boyınsha úzliksiz ózgeredi) jabıq jol boyınsha ln|f| ósim nólge teń, sonıń ushın f( ) – f( ) = i argf arqalı i diń oń jaǵındaǵı kóbeytiwshini – yaǵnıy argumenttiń bólek alınǵan shaqasınıń ósimin belgilep, (6) ni tómendegi kórniste jazıp alamız:

Demek, 1 teoremaǵa tómendegishe kórinis beriwge boladı.
2-teorema. ( argument principi) 1 teorema shártlerinde funksiyanıń G oblistdaǵı nóller sanı N menen polyuıslar sanı P nıń ayırması usı funksiyanıń baǵıtlanǵan sheǵarasınan aylanǵandaǵı ósimi 2 ǵa bólingendegisine teń boladi.
(7)
(7) nıń oń jaqtaǵı bólegi geometrıyalıq jaqtan z tiń dan júrgendegi w=f(z) vektordıń w=0 noqattıń atıraqında tolıq aylanıwlardıń sanın kórsetedi. arqalı joldıń sawlendiriwdegi obrazın belgilep alsaq, yaǵnıy onda bul san w vektordıń aylanǵandaǵı aylanbalar sanına teń boladı ( 65- suwret). Eń aqırǵısın joldıń w=0 noqatqa qarata indeksi dep ataladı hám ind_o arqalı belgilenedi.
Yendi argument principi tómendegishe oqıwǵa boladı.
(8)
1-yeskertiw. F funksiyanıń nólleriniń orına onıń a- noqatların kórsekte boladı. (yaǵnıy f(z)=a teńlemeniń kórenleri) bul ushın joqarılardaǵı uyǵarıwlarda f funksiyanı f(z)-a funksiya menen almastırıw jetkilikli. Eger f funksiyanıń a-noqatların (hám polyusların) saqlamasa, onda
(9)
bunda N_a – D oblastdaǵı a-noqatlar ulıwma sanı w=f(z) tegislikke ótip hám joldıń indeksi túsinigin kirgizip, (9) di tómendegishe jazsaq boladı.
(10)
2-yeskertiw. (7) formulanıń óń jaqtaǵı bolegı - jol boyınsha funksiyanıń ósimi jol boyınsha nólge teń bolǵan ixtıyarıy úzliksiz f funksiyalar ushında mánisge iye ( funksiyanıń golomorf bolıwın talap etetin onıń integral menen baylanıslı anıqlaması tuwındıǵa baylanıslı bolıwına qaramastan). Bul joldıń obrazınıń indeksine teń bolǵan shama topologıyalıq xarekterge iye: ol z hám w tegisliklerinıń topologiyalıq turlendiriwine qarata invariant. Nóllerdiń hám polyuslardıń topologıyalıq ózgertıwlerge de boladı yeken (eger olar tuwındı hám qatarlarǵa jayıw menen baylanıslı bolmasa). Onda argument princip de topologıyalıq xarekterge iye boladı. Ol meromorf funksiyalarǵa topologıyalıq ekvivalent bolǵan barlıq funkcıyalar ushın orınlı boladı.
Argument principiniń qollanıwına mısal keltiremiz.