11. Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Reja

11.8.Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning qutb tenglamalari
Qutb koordinatalar sistemasida ellips tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun qutb boshini ellipsning o’ng fokusi F₂ ga joylashtirib qutb o’qini F₁F₂ dan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’yicha yo’naltiramiz (56-chizma).

56-chizma
Faraz qilaylik М ( ) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. U holda F₂М=r ekanini hisobga olsak ellipsning ta‘rifiga binoan F₁M=2a-r bo’ladi, chunki ta‘rifga ko’ra
F₁M+F₂M=2a.
Kosinuslar teoremasiga binoan dan

kelib chiqadi. deb belgilasak.


yoki (11.14)

hosil bo’ladi.

p-ellipsning parametri deb ataladi. (11.14) ellipsning qutb tenglamasi. Bu yerda 0<<1.
Agarda qutb boshini ellipsning chap fokusi F₁ ga joylashtirsak uning tenglamasi


(11.15) (0<<1)

ko’rinishga ega bo’ladi.

Osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki >1 bo’lganda (11.14) yoki (11.15) tenglamalar giperbolaning tenglamasini =1 bo’lganda esa ular parabolaning tenglamasini ifodalaydi.
Shunday qilib  ning qiymatiga bog’lik ravishda bitta (11.14) yoki (11.15) tenglama uchta chiziq ellips, giperbola va paraboladan birini ifodalashi mumkin ekan.
11-misol. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning tenglamalari kanonik ko’rinishda yozilsin.
а) ; b) ; d )
Yechish. а) Tenglamani yoki ko’rinishda yozib uni (11.15) bilan taqqoslasak kelib chiqadi. bo’lgani uchun berilgan tenglama ellipsning qutb tenglamasi.
a=5, b=3 va с=4 sonlar va tenglamalarni qanoatlantiradi. Demak yarim o’qlari a=5, b=3 bo’lgan ellipsning kanonik tenglamasi
bo’ladi.
b) Shuningdek tenglamani = ko’rinishda yozib uni (11.15) bilan taqqoslasak kelib chiqadi. Bundan b=3, a=4, c=5 hosil bo’ladi. bo’lgani uchun berilgan tenglama giperbolaning qutb tenglamasini ifodalaydi va giperbolaning kanonik tenglamasi bo’ladi.
d) Tenglamani ko’rinishda yozib olib qutb va dekart koordinatalarni bog’lovchi formulalardan foydalanamiz.
U holda yoki .
Tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko’tarib ixchamlasak
х²+у²=(3+х)²; х²+у²=9+6х+х²; у²=6х+9 yoki у²=6(х+3/2) bo’ladi. Bu chiziq simmetriya o’qi 0x o’qdan iborat parabola ekan. Parabolani tenglamasini kanonik holga keltirish uchun eski sistemani nuqtaga parallel ko’chiramiz, ya‘ni deb olamiz. U holda parabola tenglamasi 0₁ХУ sistemaga nisbatan
У²=6Х
kanonik ko’rinishga ega bo’ladi.