11. Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Reja

11.6. Ikkinchi darajali algebraik tenglamalar yordamida aniqlanadigan chiziqlar haqida
Biz to’rt xil ikkinchi tartibli egri chiziqlarni ko’rdik: aylana, ellips, giperbola va parabola. Ularning barchasini tenglamasi ikkinchi darajali algebraik tenglama


(11.1)

yordamida aniqlanadi.

Endi quyidagi savolga javob izlaymiz.
1. (11.1) tenglama faqat aylana, ellips, giperbola va parabolani aniqlaydimi yoki ulardan boshqa chiziqlarni aniqlashi ham mumkinmi?
2. (11.1) tenglama hardoim ham qandaydir egri chiziqni ifodalaydimi?
Bu kabi savollarga to’liq javob berish uchun bir nechta misollarni qaraymiz.
1.Ikkinchi darajali tenglamani faqat bitta nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi. Demak bu tenglama nuqtani aniqlaydi.
2. Ikkinchi darajali tenglamani ko’rinishda yozsak uni va to’g’ri chiziqlarning koordinatalari qanoatlantiradi.
x-у=0 (yoki у=х) va х+у=0 (yoki у=-х) to’g’ri chiziqlar koordinatalar boshida kesishuvchi koordinata burchaklarning bissektrisalaridir. х²-у²=0 tenglama ikki kesishuvchi to’g’ri chiziqlarning tenglamasidir.
3. Ikkinchi darajali у²=9 tenglamani у²-9=0 yoki (у-3)(у+3)=0 ko’rinishda yozsak uni y=3 va y=-3 parallel to’g’ri chiziqlarni nuqtalarining koordinatalari qanoatlantiradi xolos. Demak у²=9 tenglama ikkita parallel to’g’ri chiziqlarning tenglamasi.
4. Ikkinchi darajali х²-2ху+у²=0 tenglamani (х-у)²=0 ko’rinishda yozsak u х-у=0 (I va III koordinata burchaklarini bissektrisasi) to’g’ri chiziq tenglamasiga teng kuchli bo’ladi.
Bu holda shartli ravishda х²-2ху+у²=0 tenglamani birlashuvchi ikkita to’g’ri chiziqni tenglamasi deb ataymiz.
5. Nihoyat x va y ga nisbatan ikkinchi darajali algebraik tenglama hech qanday egri chiziqni aniqlamasligi ham mumkin. Masalan, koordinatalari х²+у²+3=0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta mavjud emas.
Shunday qilib x va y ga nisbatan ikkinchi darajali (11.1) tenglama tenglamaning koeffitsientlariga bog’lik ravishda aylanini, ellipsni, giperbolani, parabolani, bir juft kesishuvchi to’g’ri chiziqlarni, ikkita parallel to’g’ri chiziqlarni birlashuvchi ikkita to’g’ri chiziqlarni, nuqtani aniqlashi yoki hech qanday egri chiziqni aniqlamasligi ham mumkin ekan.
(11.1) umumiy tenglamani koordinatalar sistemasi parallel ko’chirish va o’qlarni burish natijasida yangi sistemaga nisbatan kanonik tenglamaga keltirib egri chiziqni turini aniqlash va uni chizish mumkin.