Ikkinchi tartibli egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamalari.
a) Parabola
kanonik tenglama bilan berilgan bo’lsa, qutbni parabola fokusiga joylashtirib, qutb o’qi sifatida abssissa o’qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozaylik.Agar biz
almashtirishlar bajarsak
tengliklar o’rinli bo’ladi. Bu yerda nuqtaning qutb koordinatalari
bo’lib, agar nuqta parabolaga tegishli bo’lsa, uning fokal radiusiga tengdir. Biz
tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo’lgan masofaga tengligini hisobga olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo’ysak
munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabolaning qutb
koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir.
b) Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o’qini qutb o’qi sifatida olamiz. Ellipsning
kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o’tkazish uchun
almashtirishlar yordamida yangi dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz. Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog’lanish boshi
formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radius uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib
tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani
tenglikka qo’ysak
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda
tenglikdan foydalandik.
в) Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun
uning har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sistemasi kiritamiz. Uning o’ng qismi uchun qutb boshini giperbolaning ung fokusiga joylashtiramiz va abssissa o’qini qutb o’qi sifatida olamiz.
Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi uning o’ng fokal radiusiga teng bo’lganligi uchun
ifodani hosil qilamiz.Biz bilamizki,agar dekart koordinatalar sistemasi uchun qutb boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o’qi abssisa o’qi bilan ustma-ust tushsa,qutb koordinatalar sistemasi va koordinatalar sistemasi orasidagi bog’lanish
formulalar yordamida beriladi.Bu yangi koordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi berilgan koordinatalar sistemasi orasidagi bog’lanish esa
ko’rinishda bo’ladi.Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib
tenglikni hosil qilamiz.Yuqoridagi ifodani bu tenglikga qo’ysak
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda
tenglikdan foydalandik.
Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssissa o’qini qarama-qarshi yonalish bilan qutb o’qi sifatida olamiz.Biz agar
formulalar bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak,ular uchun
formulalar o’rinli bo’ladi.Bu yerda qurb radiuas chap fokal radiusga teng bo’lganligi uchun
tenglik o’rinli bo’ladi.Bu tenglikdagi ning ifodasini yuqoridagi formulardan kelib chiqadiagan
tenglikga qo’yib
tenglamani hosil qilamiz.Bu yerda ham
tenglik o’rinlidir.
Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishda tanlanganda har qanday ikkinchi tartib chiziq tenglamasini
ko’rinishda yozish mumkin ekan.Bu tenglama bo’lsa parabola, bo’lganda ellips va nihoyat bo’lganda giperbola tenglamasidir. Chizma-4
Ellips, giperbola va parabolaning urinmalari
Bu chiziqlarning har biri o’ziga tegishli har bir nuqtaning atrofida birorta differensiallanuvchi funksianing grafigi bo’ladi. Shuning uchun, bu chiziqlar urinmalarining tenglamalarini tuzishda biz maktab kursidan ma’lum bo’lgan
tenglamadan foydalanishimiz mumkin. Misol uchun ellipsning ordinatalari manfiy bo’lmagan nuqtalardan iborat qismi
,
funksianing grafigi bo’ladi. Bu funksianinig hosilasini topsak, u
ko’rinishda bo’ladi. Bu ifodalarni hisobga olib, ellipsga tegishli nuqtadagi urinma tenglamasini yozamiz:
.
Bu tenglamada
tenglikni hisobga olsak, yuqoridagi tenglama
ko’rinishga keladi.
Giperbola va parabola uchun urinma tenglamalarini keltirib chiqarish o’quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etiladi. Ularning nuqtadagi urinmalari tenglamalari mos ravishda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
Ellips, giperbola va parabolaning optik xossalari
Biz ellipsning quyidagi optik xossasini isbotlaymiz
Teorema. Ellipsning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so’ng ikkinchi fokusga tushadi.
Teorema.Giperbolaning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so’ng ikkinchi fokusga tushadi.
Teorema. Parabolaning fokusidan chiqubchi nur sinishdan so’ng uning o’qiga parallel to’g’ri chiziq bo’ylab harakatlanadi.
