100 лет со дня рождения

КРУПНЫЙ ВКЛАД В МАТЕМАТИКУ*
Для развития математики большое значение имеют проблемы, 
возникшие в ней
 
и привлекающие к себе интерес многих учёных, 
но не поддающиеся решению в течение длительного времени. Не-
редко на пути решения таких задач создаются оригинальные теоре-
тические построения, которые впоследствии оказываются прило-
жимыми далеко за пределами этих задач. Формулировка таких 
проблем сама по себе является крупным научным событием. Каж-
дый раз, когда удаётся получить решение проблемы, стоявшей пе-
ред наукой долгое время, соответствующая область обогащается 
новыми возможностями и обычно как следствие возникает сущес-
твенное продвижение на некотором достаточно широком участке 
фронта науки. Более того, при появлении новых концепций в нау-
ке и разработке новых методов решение широко известной, но ра-
нее не решённой задачи служит своего рода апробированием силы 
этих методов. К числу таких задач относится проблема тождества 
слов в теории групп, привлекавшая более 40 лет внимание многих 
учёных. Постараемся пояснить, в чём состоит эта задача. 
Группой называется множество элементов, в котором опреде-
лена операция, называемая умножением. Это значит, что всякой 
паре элементов 
a
и 
b

этого множества, взятых в определённом по-
рядке, ставится в соответствие третий элемент этого множества 
c
–
их произведение. При этом используется запись 
a b 
=
 c
. В этом 
множестве имеется единственный выделенный элемент 
e, 
называе-
мый единицей и обладающий тем свойством, что для любого эле-
мента 
a
 
из этого множества 
ae 
=
 ea 
=
 a. 
Кроме того, каждый эле-
мент 
a
 
этого множества обладает единственным обратным 
элементом 
a
–
1
, 
характеризующимся тем, что 
aa
–
1 
=
 a
–
1
a 
=
 e.
 
Приведём некоторые примеры групп. Все целые числа образу-
ют группу, если в качестве основной операции умножения взять 
обычное арифметическое сложение чисел. Единицей группы в 
этом случае будет число 
0
; элементом, обратным к числу 
a 
будет 

---

74
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
число 
–
a
.
 
Другим примером группы является множество положи-
тельных рациональных чисел, если в качестве операции умноже-
ния выбрано обычное арифметическое умножение. Единицей 
группы в этом случае будет число 
1
; элементом, обратным по от-
ношению к числу 
a, 
будет число 
1
:
a. 
В
этих двух примерах произ-
ведение не зависит от порядка сомножителей (такие группы назы-
ваются коммутативными). Однако, существуют и не коммутативные 
группы. Примером такой группы может явиться группа вращений 
трёхмерного пространства. Произведением двух поворотов трёх-
мерного пространства является их последовательное выполнение в 
заданном порядке, которое также является вращением трёхмерного 
пространства. Единицей группы является тождественное враще-
ние, при котором все точки остаются неподвижными. Обратным 
элементом по отношению к некоторому повороту пространства яв-
ляется такой поворот, который возвращает пространство в исход-
ное состояние. В этой группе порядок сомножителей отнюдь не 
безразличен. Поворот на 90° вокруг некоторой горизонтальной 
оси, а затем на 90° вокруг вертикальной отнюдь не равносилен 
последовательности тех же поворотов, выполненных в обратном 
порядке. 
Подробное изучение строения отдельных групп имеет большое 
значение в разных разделах математики и естествознания. Этим 
занимается теория групп. Говорят, что группа имеет конечное чис-
ло образующих, если можно в ней выделить такой конечный набор 
элементов (образующих), что каждый элемент этой группы может 
быть представлен как произведение образующих, взятых в опре-
делённом порядке. Например, в группе всех целых чисел по сложе-
нию образующими будут числа