79
О фундаменте и стиле современной математики
ке. Деятельность этого коллектива принесла чрезвычайно сущест-
венные плоды в таких разнообразных областях математики, как то-
пология, топологическая алгебра, алгебраическая геометрия, тео-
рия функций
многих комплексных переменных, теория алгебраи-
ческих чисел, функциональный анализ. Наконец, та система мате-
матики, которую разрабатывают Бурбаки и их приверженцы, нахо-
дит всё большее число сторонников среди математиков всего мира
и оказывает всё большее влияние на современную науку.
Именно потому, что я очень высоко расцениваю деятельность
Бурбаки, мне кажется досадной некоторая нечёткость общефило-
софских воззрений, высказанных в заключительной части статьи
«Архитектура математики». Авторы с большой убедительностью
показывают, что аксиоматический метод изучения основных ма-
тематических структур является весьма прогрессивным. Он содей-
ствует вскрытию внутреннего родства внешне далеких математи-
ческих теорий, позволяет расширять
границы применимости мате-
матических методов, позволяет освобождаться от несущественных
ограничений в общих теориях и содействует развитию новой пло-
дотворной математической интуиции. Можно к этому прибавить,
что именно аксиоматический метод служит основой самых широ-
ких приложений математики к разнообразнейшим сторонам чело-
веческой деятельности. Наблюдающаяся в наше время экспансия
математической мысли приводит к необходимости опираться на
аксиоматический метод при решении задач, возникающих на поч-
ве автоматизации управления производством, использования вы-
числительных машин как подсобного средства умственного труда,
в
математической лингвистике, математической экономике и ма-
тематической биологии. Далеко не всё, что в этих областях дела-
ется, строится в явной форме на базе аксиоматического метода.
Иногда аксиоматизация проводится нечётко, так что наряду с фор-
мализацией новых элементов теории происходит содержательное
использование её старых разделов. Однако такая неполнота ис-
пользования аксиоматического метода рано или поздно приводит
к неувязкам, противоречиям и к потере полноты результатов, кото-
рые устраняются только приведением в систему логической осно-
вы этих теорий, т. е. их последовательным аксиоматическим пере-
строением. Пренебрежение к разработке логической основы новых
теорий часто приводит к кустарничеству.
Таким образом, я считаю,
что широкое применение аксиоматических методов необходимо,
прежде всего, для
прикладной математики.
Это обстоятельство
должно учитываться с максимальной полнотой при составлении
учебных планов инженерных и математических учебных заведений.
80
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
Мне кажется, что Бурбаки обращают недостаточное внимание на
прикладное значение аксиоматических концепций.
С этим связано и то, что взаимоотношения между математи-
ческими и общефизическими теориями, в частности,
возможность
применения аксиоматических теорий для понимания связи между
физическими явлениями, представляется авторам случайным и
привходящим обстоятельством. На самом деле, единство матери-
ального мира обусловливает то, что при самых различных обстоя-
тельствах возникают однотипные связи между различными сторо-
нами проявлений его особенностей. Эти проявления являются
источником физических представлений, которые в свою очередь
являются источником математических теорий. Близость тех струк-
тур, которые
изучаются в этих теориях, является своеобразным от-
ражением единства материального мира в математической абстрак-
ции. Правда, выяснение этих обстоятельств выходит за рамки того
внутриматематического рассмотрения гносеологических вопросов
математики, которому посвящена статья Н. Бурбаки. Но я не вижу
оснований для того, чтобы рассматривать этот вопрос, непременно
соблюдая указанные ограничения.
Во всем остальном, мне кажется, точка зрения авторов вполне
правомочна и высказанные ими взгляды убедительны.
Если аксиоматический метод является стилем современной ма-
тематики, то потребности практики (понятые в самом широком
смысле, включая сюда также и потребности смежных наук) являют-
ся её фундаментом.
Широкое использование абстрактных концеп-
ций математики: навыки в выработке точных понятий, отчетливая
формулировка задач и применение аксиоматического метода при
решении актуальных задач, возникающих из практики,
–
вот что
должно быть признано особенно характерным для современной
математики. В этой связи нельзя забывать о том, что всестороннее
совершенствование и оттачивание математического аппарата, а
также систематизация всех добытых ценностей должны быть не-
отъемлемой составной частью этой деятельности.
