67
Людмила Всеволодовна Келдыш
Нужно отметить, что теорема о существовании В-множеств
сколь угодно высоких классов была доказана Лебегом с помощью
по строения универсальных множеств и применения к ним диаго-
нального метода Кантора в сочетании с трансфинитной индукцией.
В то же время знание канонических элементов позволяло по-
строить наглядные арифметические примеры множеств низших
классов. В первом классе
–
это канторовский двоичный дисконти-
нуум, во
втором классе
–
множество иррациональных чисел, нако-
нец, в третьем классе
–
это бэровское множество, состоящее из
всех точек, последовательность неполных частных которых неогра-
ниченно возрастает.
Долгое время стоял вопрос о построении арифметического
примера множества четвёртого класса. К этому вопросу Н.Н. Лу-
зин привлекал внимание многих из своих учеников и неоднократ-
но подчёркивал его большую принципиальную важность. С этого
вопроса началась работа Л.В. Келдыш в области теории множеств.
В работе, выполненной во время аспирантуры и опубликован-
ной в книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах»,
Л.В. Келдыш построила арифметический пример элемента четвёр-
того класса: это
множество точек, среди неполных частных кото-
рых имеется бесконечное число чисел, каждое из которых повто-
ряется бесконечное число раз.
Конструкция, применённая в этой работе, позволила в даль-
нейшем Л.В. Келдыш построить канонические элементы четвёрто-
го класса.
В 1934 г. Л.В. Келдыш показала, что бэровские элементы треть-
его класса обладают рядом свойств, позволяющих видеть в них ка-
нонические элементы третьего класса. Именно: 1)
каждый элемент
третьего класса состоит из одного бэровского элемента и счётного
числа множеств второго класса; 2) всякие два бэровских элемента
гомеоморфны между собой, быть может, с точностью до счётного
числа точек; 3) каждое множество, гомеоморфное бэровскому эле-
менту, само является бэровским элементом. Таким образом, бэро-
вские элементы оказались основным структурным типом элемен-
тов третьего класса.
За этой работой последовала целая серия работ Л.В. Келдыш
по
изучению строения
B
-множеств, завершившаяся её докторской
диссертацией «Структура
B
-множеств». В этой работе дано исчер-
пывающее решение вопроса о построении канонических элемен-
тов класса
α
и об их роли в устройстве произвольных элементов
класса
α
. Кроме того, в этой работе даны общие принципы для
построения арифметических примеров элементов данного класса и
68
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
построены примеры
множеств всех конечных классов, а также
класса
ω
.
Установленные Л.В. Келдыш результаты о канонических эле-
ментах состоят в следующем: даётся некоторый вполне индивиду-
альный трансфинитный процесс последовательного построения
некоторых множеств. Без помощи универсальных множеств и диа-
гонального процесса Кантора доказывается, что процесс длины
α
ведёт к элементу класса
α
1
. Полученные таким образом множества
называются каноническими
элементами класса
α
. Доказывается,
что: 1) всякие два канонических элемента класса
α
гомеоморфны
между собой; 2) семейство канонических элементов класса
α
топо-
логически инвариантно; 3) каждый элемент класса
α
является сум-
мой одного канонического элемента класса
α
и не более чем счёт-
ного числа множеств классов <
α
.
Один лишь перечень этих результатов, далеко не исчерпываю-
щий
всего того, что сделано Л.В. Келдыш в теории
B
-множеств,
показывает, насколько глубоко она преобразила наши знания в
этой области.
Необходимо отметить, что Л.В. Келдыш выработала новые,
совершенно своеобразные и очень сильные методы для исследова-
ния
B
-множеств, имеющие конструктивный геометрический ха-
рактер и отличающиеся большой глубиной и силой.
В основном завершив изучение
B
-множеств, Л.В. Келдыш пе-
решла в область топологии. Первые её результаты в этом направле-
нии являются промежуточными для дескриптивной теории мно-
жеств и топологии.
Л.В. Келдыш исследовала связи
между открытыми отображе-
ниями и
Do'stlaringiz bilan baham: 
