100 лет со дня рождения

G
δ
, но не 
F
σ
, 
являются множества, гомеоморфные множествам иррациональных 
точек. Как показали П.С. Александров и П.С. Урысон, каждое 
множество типа 
G
δ
, но не 
F
σ
 
является суммой не более чем одного 
множества такой природы и счётного числа замкнутых множеств. 
Наконец, была известна конструкция элемента третьего класса, 
принадлежащая Бэру, которая позволила непосредственно устано-
вить принадлежность получаемого множества к третьему классу, 
но не ниже. 
Этим исчерпывались сведения об индивидуальных особеннос-
тях строения 
В
-множеств низших классов. 
1
Наличие двух типов канонических элементов является особенностью 
первого класса.

---

67
Людмила Всеволодовна Келдыш
Нужно отметить, что теорема о существовании В-множеств 
сколь угодно высоких классов была доказана Лебегом с помощью 
по строения универсальных множеств и применения к ним диаго-
нального метода Кантора в сочетании с трансфинитной индукцией. 
В то же время знание канонических элементов позволяло по-
строить наглядные арифметические примеры множеств низших 
классов. В первом классе 
–
это канторовский двоичный дисконти-
нуум, во втором классе 
–
множество иррациональных чисел, нако-
нец, в третьем классе 
–
это бэровское множество, состоящее из 
всех точек, последовательность неполных частных которых неогра-
ниченно возрастает. 
Долгое время стоял вопрос о построении арифметического 
примера множества четвёртого класса. К этому вопросу Н.Н. Лу-
зин привлекал внимание многих из своих учеников и неоднократ-
но подчёркивал его большую принципиальную важность. С этого 
вопроса началась работа Л.В. Келдыш в области теории множеств. 
В работе, выполненной во время аспирантуры и опубликован-
ной в книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах», 
Л.В. Келдыш построила арифметический пример элемента четвёр-
того класса: это множество точек, среди неполных частных кото-
рых имеется бесконечное число чисел, каждое из которых повто-
ряется бесконечное число раз. 
Конструкция, применённая в этой работе, позволила в даль-
нейшем Л.В. Келдыш построить канонические элементы четвёрто-
го класса. 
В 1934 г. Л.В. Келдыш показала, что бэровские элементы треть-
его класса обладают рядом свойств, позволяющих видеть в них ка-
нонические элементы третьего класса. Именно: 1) каждый элемент 
третьего класса состоит из одного бэровского элемента и счётного 
числа множеств второго класса; 2) всякие два бэровских элемента 
гомеоморфны между собой, быть может, с точностью до счётного 
числа точек; 3) каждое множество, гомеоморфное бэровскому эле-
менту, само является бэровским элементом. Таким образом, бэро-
вские элементы оказались основным структурным типом элемен-
тов третьего класса. 
За этой работой последовала целая серия работ Л.В. Келдыш 
по изучению строения 
B
-множеств, завершившаяся её докторской 
диссертацией «Структура 
B
-множеств». В этой работе дано исчер-
пывающее решение вопроса о построении канонических элемен-
тов класса 
α
и об их роли в устройстве произвольных элементов 
класса 
α
. Кроме того, в этой работе даны общие принципы для 
построения арифметических примеров элементов данного класса и 

---

68
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
построены примеры множеств всех конечных классов, а также 
класса 
ω
.
Установленные Л.В. Келдыш результаты о канонических эле-
ментах состоят в следующем: даётся некоторый вполне индивиду-
альный трансфинитный процесс последовательного построения 
некоторых множеств. Без помощи универсальных множеств и диа-
гонального процесса Кантора доказывается, что процесс длины 
α
ведёт к элементу класса 
α
1
. Полученные таким образом множества 
называются каноническими элементами класса 
α
. Доказывается, 
что: 1) всякие два канонических элемента класса 
α
гомеоморфны 
между собой; 2) семейство канонических элементов класса 
α
топо-
логически инвариантно; 3) каждый элемент класса 
α
является сум-
мой одного канонического элемента класса 
α
и не более чем счёт-
ного числа множеств классов < 
α
. 
Один лишь перечень этих результатов, далеко не исчерпываю-
щий всего того, что сделано Л.В. Келдыш в теории 
B
-множеств, 
показывает, насколько глубоко она преобразила наши знания в 
этой области. 
Необходимо отметить, что Л.В. Келдыш выработала новые, 
совершенно своеобразные и очень сильные методы для исследова-
ния 
B
-множеств, имеющие конструктивный геометрический ха-
рактер и отличающиеся большой глубиной и силой. 
В основном завершив изучение 
B
-множеств, Л.В. Келдыш пе-
решла в область топологии. Первые её результаты в этом направле-
нии являются промежуточными для дескриптивной теории мно-
жеств и топологии. 
Л.В. Келдыш исследовала связи между открытыми отображе-
ниями и