100 лет со дня рождения

A
-множествами. Основной её результат состоит в том, что 
всякое 
А
-множество пространства Бэра является открытым обра-
зом множества, являющегося пересечением 
F
σ
и 
G
δ
. 
В то же время, 
как это было показано ещё Хаусдорфом, множества типа 
G
δ
инва-
риантны относительно открытых преобразований.
Этот неожиданный результат был также установлен ориги-
нальным геометрическим конструктивным методом.
Дальнейшие топологические исследования Л.В. Келдыш по-
священы теории непрерывных отображений компактов в тесной 
связи с теорией размерности. Отличительной особенностью всех её 
работ в этой области снова является их конкретный, геометричес-
кий характер. Вместе с тем вся их проблематика целиком относит-
ся к теории множеств. Таким образом, Л.В. Келдыш является яр-
1
Эти множества характеризуются однородностью строения, т. е. тем, 
что каждый кусок каждого из них гомеоморфен всему множеству.

---

69
Людмила Всеволодовна Келдыш
кой представительницей геометрического направления в теории 
множеств 
–
дескриптивной и топологической. 
Основная проблема, интересующая Л.В. Келдыш в топологии, 
есть трудная проблема, заключающаяся в выяснении тех условий, 
при которых непрерывное отображение повышает размерность. 
В этой области Л.В. Келдыш получила ряд очень тонких и инте-
ресных результатов, среди которых мы в первую очередь назовём 
замечательную теорему о неприводимых отображениях отрезка на 
куб любого числа измерений. При этом под неприводимым отоб-
ражением какого-нибудь топологического пространства 
X 
на топо-
логическое пространство 
Y 
понимается такое непрерывное отобра-
жение пространства 
X 
на 
Y
, при котором всякое, отличное от всего 
пространства 
X
, замкнутое множество 
A 
⊂ 
X 
отображается на собс-
твенное подмножество пространства 
Y
, т. е. 
( f (А) 
≠ 
Y). 
Результат 
Л.В. Келдыш гласит: всякое неприводимое отображение 
f
сегмента 
J
на 
n
-мерный куб 
J 
n
 
может быть представлено в виде суперпози-
ции 2(
п 
–
1)
 
непрерывных отображений: 
f
= 
ϕ
n
–
1
ψ
n
–
1
… 
ϕ
1
ψ
1
, (1) 
где все 
ψ
i
суть нульмерные
1
отображения, не повышающие размер-
ность, а все 
ϕ
i
суть двукратные отображения, каждое из которых 
повышает размерность ровно на 1. 
Так как при двукратном отображении размерность не может 
повыситься более чем на 1, то результат Л.В. Келдыш является 
окончательным и полностью выясняет картину, имеющую место 
при «неприводимых» кривых Пеано. 
В связи с изложенным результатом Л.В. Келдыш доказывает (в 
той же работе [18]) ещё и следующее предложение: 
Пусть 
f
–
непрерывное отображение отрезка 
J
на 
n
-мерный 
компакт 
Y, 
причём предполагается, что образ любого отрезка 
δ
, 
лежащего на 
J, 
содержит «топологический 
n
-мерный куб» (т. е. 
множество, гомеоморфное 
n
-мерному кубу). Тогда имеет место 
представление
f
= 
ψ