10-маъруза. Предикатлар мантиқи формуласи режа: Предикатлар мантиқи формуласининг таърифи

3. Предикатлар мантиқининг тенгкучли формулалари

Предикатлар мантиқида ҳам тенгкучли формулалар тушунчаси мавжуд.

1-таъриф. Предикатлар мантиқининг иккита ва формулалари ўз таркибига кирувчи соҳага оид ҳамма ўзгарувчиларнинг қийматларида бир хил мантиқий қиймат қабул қилсалар, улар соҳада тенгкучли формулалар деб айтилади.
2-таъриф. Агар ихтиёрий соҳада ва формулалар тенгкучли бўлсалар, у ҳолда улар тенгкучли формулалар деб айтилади ва кўринишда ёзилади.
Агар мулоҳазалар алгебрасидаги ҳамма тенгкучли формулалар ифодасидаги ўзгарувчи мулоҳазалар ўрнига предикатлар мантиқидаги формулалар қўйилса, у ҳолда улар предикатлар мантиқининг тенгкучли формулаларига айланади. Аммо, предикатлар мантиқи ҳам ўзига хос асосий тенгкучли формулаларга эга. Бу тенгкучли формулаларнинг асосийларини кўриб ўтайлик. ва - ўзгарувчи предикатлар ва - ўзгарувчи мулоҳаза бўлсин. У ҳолда предикатлар мантиқида қуйидаги асосий тенгкучли формулалар мавжуд:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.

Бу тенгкучли формулаларнинг айримларини исбот қилайлик.

Биринчи тенгкучли формула қуйидаги оддий тасдиқни (далилни) билдиради: агар ҳамма лар учун чин бўлмаса, у ҳолда шундай топиладики, чин бўлади.
2-тенгкучлилик: агар чин бўладиган мавжуд бўлмаса, у ҳолда ҳамма лар учун чин бўлади деган мулоҳазани билдиради.
3 ва 4 – тенгкучлиликлар 1 ва 2 – тенгкучлиликларнинг иккала тарафидан мос равишда инкор олиб ва икки марта инкор қонунини фойдаланиш натижасида ҳосил бўлади.
5-тенгкучлиликни исбот қилайлик. Агар ва предикатлар бир вақтда айнан чин бўлсалар, у ҳолда предикат ҳам айнан чин бўлади ва демак,


, ,
мулоҳазалар ҳам чин қиймат қабул қиладилар.
Шундай қилиб, бу ҳолда 5-тенгкучлиликнинг иккала тарафи ҳам «чин» қиймат қабул қиладилар.
Энди ҳеч бўлмаганда икки предикатдан бирортаси, масалан, айнан чин бўлмасин. У ҳолда предикат ҳам айнан чин бўлмайди ва демак, , , мулоҳазалар ёлғон қиймат қабул қиладилар, яъни бу ҳолда ҳам 5-тенгкучлиликнинг икки тарафи бир хил (ёлғон) қиймат қабул қиладилар. Демак, 5-тенгкучлиликнинг тўғри эканлиги исботланди.
Энди 8-тенгкучлиликнинг тўғри эканлигини исбот қилайлик. Ўзгарувчи мулоҳаза «ёлғон» қиймат қабул қилсин. У ҳолда предикат айнан чин бўлади ва , мулоҳазалар чин бўладилар. Демак, бу ҳолда 8-тенгкучлиликнинг иккала тарафи ҳам бир хил (чин) қиймат қабул қиладилар.
Энди ўзгарувчи мулоҳаза «чин» қиймат қабул қилсин. Агар бу ҳолда ўзгарувчи предикат айнан чин бўлса, у вақтда предикат ҳам айнан чин бўлади ва демак,
, ,
мулоҳазалар ҳам чин қиймат қабул қиладилар, яъни бу ҳолда 8-тенгкучлиликларнинг иккала тарафи ҳам бир хил (чин) қиймат қабул қиладилар.
Агар предикат айнан чин бўлмаса, у ҳолда предикат ҳам айнан чин бўлмайди ва демак,
, ,
мулоҳазалар ёлғон қиймат қабул қиладилар.
Шундай қилиб, бу ҳолда ҳам 8-тенгкучлиликларнинг иккала тарафи бир хил (ёлғон) қиймат қабул қиладилар. Демак, 8-тенгкучлилик ўринлидир.
Шуни таъкидлаб ўтамизки, формула формулага ва формула формулага тенгкучли эмаслар.
Аммо, қуйидаги тенгкучлиликлар ўринлидир:


,
.
Бу тенгкучлиликлардан биринчисини исбот қилайлик. Бунинг учун квантор дизъюнкция амалига нисбатан дистрибутив эмаслигини мисолда кўрсатайлик.


, :« »,
: « »
бўлсин.
Аниқки, соҳада ва мулоҳазалар ёлғон ва демак, бу тенгкучлиликнинг чап томонидаги мулоҳаза ҳам ёлғондир. Агар квантор га нисбатан дистрибутив, яъни



бўлганда эди, чин мулоҳаза бўлганлиги учун қарама-қаршилик ҳосил бўларди.
Демак, бўлади.
Энди бу тенгкучлиликларнинг ўнг томони ҳар доим чап томонидаги мулоҳаза билан бир хил қиймат қабул қилишини кўрсатамиз.
Агар ёки бўлса, у ҳолда бу тенгкучлилик тўғри эканлиги аниқ, чунки бу ҳолда тенгкучлиликнинг иккала томони ҳам бир вақтда чин қиймат қабул қиладилар. Бу ҳолда фақат эканлигини кўрсатиш кифоя. Аммо бу охирги тенгкучлилик табиийдир, чунки предмет ўзгарувчи ҳам, предмет ўзгарувчи ҳам соҳанинг ҳар бир элементини қиймат сифатида қабул қилади.
Энди ва бўлсин. У ҳолда тенгкучлиликнинг чап тарафи 0 (ёлғон) қиймат қабул қилади. Ўнг томонида кванторнинг таъсир соҳаси формула бўлсада, предикатда предмет ўзгарувчи қатнашмаганлиги сабабли, нинг таъсири фақат га тарқалади. Худди шундай, квантор фақат га таъсир этади. Демак, формула ҳам ёлғон қийматга эга бўлади.
Келтирилган иккинчи тенгкучлиликни ҳам худди шундай исбот қилиш мумкин ва буни ўқувчига ҳавола этамиз.
4-мисол. тенгкучлилик ўринли эканлигини кўрсатинг.
Ечим.
,
.
Демак, келтирилган тенгкучлилик ўринли экан.