10. Кинематика вращательного движения абсолютно твердого тела

15. Законы сохранения в механике


Закон сохранения импульса: Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Работа постоянной силы равна произведению модулей векторов силы и перемещения на косинус угла между этими векторами.

Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия – это физическая величина, характеризующая движущееся тело; изменение этой величины равно работе силы, приложенной к телу.

Величина mgh - это потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h над нулевым уровнем.

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упругого деформированного тела ( пружины), взятому с противоположным знаком.

Потенциальная энергия деформированного тела равна работе силы упругости.

Закон сохранения энергии: Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих силами тяготения или силами упругости, остается неизменной при любых движениях тел системы.

Мощностью называется величина, равная отношению совершенной работы к промежутку времени, за который она совершена:

Коэффициентом полезного действия называется величина, равная отношению полезной работы ко всей совершенной работе.

КПД показывает, насколько эффективно данная машина использует подводимую к ней энергию. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы. КПД можно записать в процентах:

16. Механические гармонические колебания: пружинный, физический иматематический маятники

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы­ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столетовым, русским инжене­ром-экспериментатором П. Н. Лебедевым (1866—1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л. И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными ), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колеба­ния величины s описываются уравнением типа:

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колеба­ния под действием упругой силы F=-kx, где k -коэффициент упругос­ти, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника

или
.
Из выражений (5.12) и (5.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону  с цик­лической частотой
(5.13)

и периодом

. (5.14)
Формула (5.14) справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (5.10) и (5.13), равна
.

Рис. 28

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под дейст­вием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под­веса, не проходящей через центр масс С тела (рис. 28). Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела

(4.5) момент М вращающей силы можно запи­сать в виде
, (5.15)
где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О,  – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятни­ка,  - возвращающая сила (знак минус обу­словлен тем, что направление  и a всегда противоположны; sina»a соответствует малым отклонениям маятника из положения равновесия).
Уравнение (5.15) можно записать в виде

или
.
Принимая
, (5.16)
получим уравнение  , идентичное (5.12), решение которого (5.1) известно:
. (5.17)
Из выражения (5.17) следует, что при малых колебаниях физи­ческий маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (5.18)) и периодом
, (5.18)
где  – приведенная длина физического маятника.
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.
Момент инерции математического маятника
, (5.19)
где  - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредо­точена в одной точке – центре его масс, то, подставив выражение (5.19) в формулу (5.18), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

. (5.20)


Сравнивая формулы (5.18) и (5.20), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине  математического маятника, то их периоды колебания одинаковы. Следовательно, приве­денная длина математического маятника – это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.