10. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi

3-teorema. Faraz qilaylik,

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yiђindisi bо‘lsin:
.
U holda funksiya da uzluksiz hosilaga ega va
(3)
bо‘ladi, bunda (3) qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng.
◄ Berilgan darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bо‘ladi. Tekis yaqinlashuvchi funksional qator-ning xossasiga kо‘ra darajali qatorni hadlab differen-siallash mumkin. Demak, da
.
Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bо‘lishi quyidagi munosabatdan kelib chiqadi:
.►
Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bо‘lib, uning yaqinlashish radiusi bо‘lsin. Bu qatorni da ixtiyoriy marta hadlab differensiallash mumkin. Differensiallash natijasida hosil bо‘lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bо‘ladi.
4-teorema. Aytaylik,

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yiђindisi bо‘lsin:
. (4)
U holda da

bо‘ladi.

◄(4) munosabatda deb topamiz:

.
(4) qatorni hadlab differensiallaymiz:
.
Bu tenglikda deyilsa

bо‘lishi kelib chiqadi. Shu jarayonni davom ettiraborib

bо‘lishini topamiz. ►
1-misol. Ushbu

darajali qator yiђindisi topilsin.
◄Ma’lumki,

darajali qator da yaqinlashuvchi va uning yiђindisi ga teng:
.
Bu qatorni hadlab differensiallab topamiz:
,
.
Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga kо‘paytirsak, unda

bо‘lishi kelib chiqadi. ►
2-misol. Ushbu

tenglikning tо‘ђriligi isbotlansin.
◄Ravshanki,

darajali qator da yaqinlashuvchi bо‘lib, uning yiђindisi ga teng:
.
Bu tenglikda ni ga almashtirsak, natijada

tenglik hosil bо‘ladi. Uni bо‘yicha integrallab topamiz:
,

.