10. Darajali qator tushunchasi

2⁰. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. Faraz qilaylik,

darajali qator berilgan bо‘lsin. Bu qatorning yaqinlashish yoki uzoqlashish nuqtalari haqida quyidagi uch hol bо‘lishi mumkin:

1. 
   barcha musbat sonlar qatorning yaqinlashish nuqtalari bо‘ladi;
   
2. 
   barcha musbat sonlar qatorning uzoqlashish nuqtalari bо‘ladi;
   
3. 
   shunday musbat sonlar borki, ular qatorning yaqinlashish nuqtalari bо‘ladi, shunday musbat sonlar borki, ular qatorning uzoqlashish nuqtalari bо‘ladi.
   

Birinchi holda, Abel teoremasiga kо‘ra darajali qator barcha da yaqinlashuvchi bо‘lib, darajali qatorning yaqinlashish tо‘plami bо‘ladi. Bunday qatorga ushbu

darajali qator misol bо‘ladi.

Ikkinchi holda, Abel teoremasining natijasiga kо‘ra darajali qator barcha da uzoqlashuvchi bо‘lib, uning yaqinlashish tо‘plami bо‘ladi. Bunday qatorga ushbu

darajali qator misol bо‘laoladi.

Endi uchinchi holni qaraymiz. Bu holga ushbu

darajali qator misol bо‘ladi. Bu darajali qator barcha da yaqinlashuvchi va demak, Abel teoremasiga kо‘ra qator da yaqinlashadi, barcha da qator uzoqlashuvchi va demak, Abel teoremasining natijasiga kо‘ra qator da uzoqlashadi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish tо‘plami bо‘ladi.

Aytaylik,

darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada nuqtada esa uzoqlashuvchi bо‘lsin. Ravshanki,

bо‘ladi.

Agar darajali qator

nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa,

deb, uzoqlashuvchi bо‘lsa,

deb va nuqtalarni olamiz. Ravshanki,

va

bо‘ladi. Bu munosabatdagi va sonlarga kо‘ra va sonlarni yuqoridagiga о‘xshash aniqlaymiz:

Agar darajali qator

nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa,

deb, uzoqlashuvchi bо‘lsa,

deb va nuqtalarni olamiz. Bunda

va

bо‘ladi.

Bu jarayonni davom ettiraborish natijasida darajali qatorning yaqinlashish nuqtalaridan iborat , uzoqlashish nuqtalaridan iborat ketma-ketliklar hosil bо‘ladi. Bunda

va da

bо‘ladi. Unda [1], 3-bob, 8-§ da keltirilgan teoremaga kо‘ra va limitlar mavjud va

bо‘ladi. Uni bilan belgilaymiz:

.

Endi о‘zgaruvchining tengsizlikni qanoatlan-tiruvchi ixtiyoriy qiymatini olaylik. Unda

bо‘lishidan, shunday topiladiki,

bо‘ladi. Binobarin, berilgan darajali qator nuqtada, demak qaralayotgan nuqtada yaqinlashuvchi bо‘ladi.

о‘zgaruvchining tenglikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatini olaylik. Unda

bо‘lishidan, shunday topiladiki,

bо‘ladi. Binobarin, berilgan darajali qator nuqtada, demak qaralayotgan nuqtada uzoqlashuvchi bо‘ladi.

Demak, 3)-holda darajali qator uchun shunday musbat soni mavjud bо‘ladiki, , ya’ni da qator yaqinlashuvchi, , ya’ni da qator uzoqlashuvchi bо‘ladi. nuqtalarda darajali qator yaqinlashuvchi ham bо‘lishi mumkin, uzoqlashuvchi ham bо‘lishi mumkin.