10-amaliy mashg`ulot. Qo‘shma operatorlar. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar. 1-misol

1-teorema. fazoda berilgan ixtiyoriy chiziqli uzluksiz funksional uchun shu funksional bo‘yicha aniqlanuvchi shunday o‘zgarishi chegaralangan funksiya mavjudki, barcha larda (11) va (13) tengliklar o‘rinli.
Ko‘rsatish mumkinki, har bir o‘zgarishi chegaralangan funksiya (7) tenglik yordamida yagona funksionalni aniqlaydi. Shuning uchun, dagi chiziqli funksionallar bilan o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosining elementlari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. Bundan tashqari bo‘lgani uchun, bu moslik izomorfdir, ya’ni = .
7-misol. Berilgan kesmada - darajasi bilan Lebeg ma’nosida integrallanuvchi funksiyalar sinfini fazoga qo’shma fazoni izomorf aniqligida toping.
Yechish. Ma’lumki, to‘la normalangan fazo, ya’ni Banax fazosidir.
Endi uchun (11) munosabatni qanoatlantiruvchi sonni olamiz. Isbotlamasdan quyidagi tasdiqni keltiramiz. Har bir funksional uchun yagona element mavjud bo‘lib, ixtiyoriy larda
(14)
tenglik bajariladi va aksincha, uchun (14) formula ga tegishli biror funksionalni aniqlaydi. Bundan tashqari (14) formula va fazolar o‘rtasida izometrik moslik o‘rnatadi. Shuning uchun va fazolar o‘zaro izomorfdir, ya’ni = .
8-misol. Hilbert fazosida chiziqli funksionalning umumiy ko‘rinishi quyidagicha , ya’ni ixtiyoriy chiziqli uzluksiz funksionalga shu fazoning yagona elementi mos keladi, shuning uchun Hilbert fazosi o‘z-o‘ziga qo‘shma fazo hisoblanadi. Xuddi shu sababli, - o‘lchamli Evklid fazosi ham o‘z-o‘ziga qo‘shma fazo bo‘ladi.
9-misol. Agar fazosida norma

formula bilan aniqlansa, u holda uning qo’shma fazosida normaning
(15)
kabi aniqlanishini toping.