10-amaliy mashg`ulot. Qo‘shma operatorlar. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar. 1-misol

3-misol. fazodagi har bir uchun uning normasi

formula bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda uning qo’shma fazosida normaning qanday aniqlanishini toping.
Yechish. Ixtiyoriy chiziqli funksional va barcha larda

tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun
,
ya’ni
.
Faraz qilaylik, biror uchun

bo‘lsin. Agar

desak, va

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan

tenglikka ega bo‘lamiz. So‘nggi normani biz bilan belgilaymiz. Matematik analizdan ma’lumki
.
Shunday qilib, va chekli - o‘lchamli fazolarda
, (3)
lar bir-biriga mos keluvchi normalar juftligini hosil qiladi. Agar biz (1) munosabatni saqlagan holda da limitga o‘tsak, va ni olamiz. Demak, (3) normalar juftligi (2) normalar juftligining limitik holati ekan.
4-misol. fazoda norma

formula vositasida aniqlangan bo‘lsin. U holda uning qo’shma fazosida normaning qanday aniqlanishini toping.
Yechish. Ixtiyoriy chiziqli funksional uchun ( lar fazoning bazisi) desak, barcha lar uchun

tenglik va
,
tengsizlik o‘rinli. Ikkinchi tomondan

element uchun
.
U holda

tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, va fazolarda
, (4)
normalar bir-biriga mos keluvchi normalar juftligi bo‘ladi. (4) tenglik (2) tenglikning dagi limitik holatiga mos keladi.
5-misol. fazo

shartni qanoatlantiruvchi barcha ketma-ketliklardan iborat va unda elementning normasi

tenglik bilan aniqlangan bo’lsin. U holda fazo fazoga izomorf bo‘lishini ko’rsating.