10-amaliy mashg`ulot. Qo‘shma operatorlar. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar. 1-misol

10-amaliy mashg`ulot. Qo‘shma operatorlar. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar.


1-misol. fazo bo’lsin. Bu fazoda norma

formula bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda uning qo’shma fazosida normaning qanday aniqlanishini toping.
Yechish. - o‘lchamli chiziqli fazoda qandaydir bazisni tanlaymiz. U holda har bir vektor yagona ravishda

ko‘rinishda tasvirlanadi. Agar - da aniqlangan chiziqli funksional bo‘lsa, u holda ravshanki,

bo‘ladi. Shunday ekan, chiziqli funksional o‘zining bazis vektorlardagi qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi.Ixtiyoriy uchun

tengsizlikka ega bo‘lamiz, bu yerda . Agar

desak,
.
Bundan

formulani olamiz. Shunday ekan, va fazolarda
va
normalar bir-biriga mos kelar ekan.
2-misol. fazodagi har bir element uchun uning normasi

formula bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda uning qo’shma fazosida normaning qanday aniqlanishini toping.
Yechish. Bu normaga mos fazodagi normani aniqlash uchun Gyolder tengsizligidan foydalanamiz. U holda har bir chiziqli funksional va ixtiyoriy uchun
va
desak, Gyolder tengsizligiga asosan

tengsizlik barcha lar uchun o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
. (1)
Agar elementning koordinatalarini
,
ko‘rinishda tanlasak, (agar bo‘lsa, deb olinadi)

va

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Chunki
.
U holda

Demak,
.
Shunday qilib, va fazolarda mos normalar juftligi
, (2)
ko‘rinishda bo‘lar ekan. Bu yerda p va q sonlar (1) munosabatni qanoatlantiradi.