1. Vektorlar haqida tushincha. 1-ta’rif. O’zining son qiymati va yo’nalishi bilan aniqlanadigan miqdorlar vektorlar deb ataladi. 2-ta’rif

Mustaqil yechish uchun misollar va masalalarning javoblari
1. 1) 2) 3) k = -3, b = 2. 2. 1) y = x; 2) ; 3) y = -x;
4) y = 0. 3. 1) . 4)
yoki . 4. . .
2) ,3) . 6. 7. 8. . 9.
_10.1)(2;10); 2)(5;-0,5). 11.
.12. . 13.
. 14.
15. 1) 2) 16. 1)
2) 17. 1) 2) 3) 18. ; ; 4)
19. 20.

.
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR

Ushbu
ko’rinishdagi tenglama tekislikda 2-tartibli chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. Bunda A, B, C, D, K, F koeffitsientlar bo’lib, A, B, C koeffitsientlarning kamida bittasi nolga teng emas (aks holda biz birinchi tartibli chiziqlarga ega bo’lamiz).
1. Ellips. Har bir nuqtasidan fokuslar, deb atalgan ikki nuqtagacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas miqdordan iborat bo’lgan tekislik nuqtalarnning geometrik o’rni ellips deb ataladi. Bu o’zgarmas miqdor 2a, fokuslar orasidagi masofa 2c bilan belgilanadi. O’zgarmas miqdor fokuslar orasidagi masofadan katta bo’lishi talab etiladi, ya’ni : a >c.
Ushbu
( ) (1)
tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi(1-chizma).

1-chizma
Ellipsning fokuslari orasidagi masofani uning katta o’qi uzunligiga nisbati ellipsning ekstsentrisiteti deb ataladi va u harfi bilan belgilanadi. Ta’rifga ko’ra =2c/2a yoki =c/a, bunda ga asosan ekssentrisitet uchun tengsizlik o’rinli.
Ellipsning fokuslaridan ixtiyoriy M(x, y) nuqtasigacha bo’lgan masofalar, ellipsning fokal - radiuslari deyiladi va

formula bilan aniqlanadi. Ellipsning ta’rifiga ko’ra, .
Demak, ellipsning har qanday nuqtasi fokal radiuslarining yig’indisi uning katta o’qiga teng.
Ellipsning direktrisasi deb, uning katta o’qiga perpendikulyar bo’lgan va markazdan masofasi ga teng bo’lgan 2 ta to’g’ri chiziqqa aytiladi. Ellips direktrisalarining tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
1-misol. Ellipsning fokuslari koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo’lib, OX o’qida joylashgan. Quyidagi berilganlarga ko’ra ellipsning tenglamasini tuzing: 1) uning yarim o’qlari 7 va 4 ga teng; 2) uning katta o’qi 20, fokuslari orasidagi masofa 2c = 6 ga teng; 3) uning kichik o’qi 8, fokuslari orasidagi masofa 2c=6 ga teng; 4) fokuslari orasidagi masofa 2c = 8 ga teng, ekstsentrisiteti esa = ga teng; 5) uning katta o’qi 20, ekstsentrisiteti esa = ga teng ; 6) uning kichik o’qi 40, ekstsentrisiteti esa = ga teng; 7) uning direktrisalari orasidagi masofa va fokuslari orasidgi masofa esa 2c = 6 ga teng; 8) uning katta o’qi 10, direktrisalari orasidagi masofa 20 ga teng; 9) uning kichik o’qi 8, direktrisalari orasidagi masofa esa ga teng; 10) uning direktrisalari orasidagi masofa va = ga teng.
Yechilishi. Shartga ko’ra ellipsning fokuslari koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lib, abssissa o’qida joylashgani uchun uning kanonik tenglamasi ko’rinishda bo’ladi, bu yerda a uning katta yarim o’qi, b esa uning kichik yarim o’qi.
1) a=7, b=4 bo’lgan uchun ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
2) Shartga ko’ra 2a=20; 2c=12. Bulardan a = 10; c = 6. b yarim o’qni topish uchun formuladan foydalanamiz. . Shunday qilib, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
3) Shartga ko’ra 2b = 8, 2c = 6. Bulardan b = 4, c = 3. a katta yarim o’qni topish uchun formuladan foydalanamiz: . Shunday qilib, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
4) Shartga ko’ra 2a = 8, . Birinchi tenglikdan c = 4, = bo’lgani uchun a = 5. b yarim o’qni topish uchun formuladan foydalanamiz . Demak, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
5) Shartga ko’ra 2a = 16, . Birinchi tenglikdan a = 8, bo’lgani uchun . b yarim o’qni formuladan topamiz: . Demak, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
6) Shartga ko’ra 2b = 40, = . Bulardan b = 20, = , bo’lgani uchun keyingi tenglikdan: , bundan . Demak, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
7) Shartga ko’ra = , 2c = 6. Ikkinchi tenglikdan c = 3, = , va = tengliklardan a² = , c = 3 = 25, b= formulaga asosan b = = 4. Demak, ellipis tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
8) Shartga ko’ra 2a = 10, = 20. Bulardan a = 5, = .
= bo’lgani uchun, bundan c = a = . b ni topish uchun b = formuladan foydalanamiz. b = . Demak, ellips tenglamasi
+ = 1 ko’rinishda bo’ladi.
9) Shartga ko’ra 2b = 8, = . Bulardan b = 4, = , = , bundan esa = , bundan . Bu tenglamani yechish natijasida a² = 25 va a² = , a₁ = 5, a₂ = . Demak, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.
10) Shartga ko’ra = , = . Bulardan a =
= = 7, = bundan c = a = 7 = 2 , b = = 3.
Demak, ellips tenglamasi ko’rinishda bo’ladi.