1-varyant super kengaytma funktori

2. Uzluksiz akslantirishlar fazosida ekvivalentlik

S (X , Y ) fazo topologiyasi haqida hech qanday jumla aytilmagan bo‘lsa, bu fazoda topologiya (kompakt ochiq) qaralayotgan deb hisoblaymiz. S (X , Y ) fazoda ekvivalentlik munosabatini aniqlaymiz.

4.2.1-ta’rif Agar shunday uzluksiz akslantirish mavjud bo‘lib, u uchun F(x,0)=f₀(x), F(x,1)=f₁(x) o‘rinli bo‘lsa, bu ikkiga f₀ va f₁ uzluksiz akslantirishlar gomotop deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.

Ko‘p hollarda akslantirish f₀ va f₁ larni bog‘lovchi gomotopiya deb ham yuritiladi.

Shunday qilib, agar bo‘lsa, shunday sonli parametrga bog‘liq bo‘lgan akslantirishlar to'plami mavjud ekanki, bu akslantirishlar uzluksiz ravishda f₀ va f₁ larni tutashtirar ekan.

ushbu rasmda o’zari gomotop bo’lgan funksiyalar keltirilgan.

Misol. X ixtiyoriy, qavariq to’plamosti bo’lsin. f₀, f₁ ixtiyoriy uzluksiz akslantirishlar bo’lsin. U holda akslantirish formula bilan aniqlansa, F(x,t) ifoda f₀ va f₁ lar orasidagi gomotopiya bo’ladi.

Teorema. Gomotopiya to’plamda ekvivalentlik munosabati bo’ladi.

Isbot. A) refleksivlik, sharti F(x,t)=f(x) gomotopiya yordamida o’rnatiladi.

b) simmetriklik: f₀ va f₁ ning gomotopiyasi F(x,t) bo’lsin. U holda f₀ va f₁ orasida gomotopiya orqali aniqlanadi. Bundan .

d) larning gomotopiyasi mos ravishda F₁(x,t) va F₂(x,t) lar bo’lsin. Quyidagi formulani qaraymiz:

Bu akslantirish uzluksizdir, chunki H(x,t) akslantirish va yopiq to’plamostilarning har bir qismida uzluksizdir. Ma’lumki, H(x,t) akslatirish f₁ va f₂ lar orasida gomotopiyadir. Demak, akslantirishlarning gomotop bo’lishi munosabati fazoda ekvivalentlik munosabat ekan.