Diskret va

4. _MAVZU. Tasodifiy miqdorlar.Taqsimot qonuni. Taqsimot funksiya va uning xossalari. Diskret tasodifiy miqdor tushunchasi.

Diskret va uzluksiz tasodifiy mikdorlar.
Tabiat hodisalarini yoki sinov natijalarini kuzatish jarayonida turlicha miqdorlarga duch kelamiz. Masalan o‘yin soqqasini tashlaganda yoqlarida 1,2,3,4,5,6 raqamlar (ochkolar)dan biri chiqishi mumkin. Ammo chiqqan ochkoni avvaldan aytib bo‘lmaydi. Yoki uy hayvonlarining oylik semirishi tasodifiy sonli intervaldan iborat bo‘lib, u beriladigan ratsion miqdori, ob-havo va shu kabi omillarga bog‘liq. Demak, shunday miqdorlar mavjud ekanki, ularning qiymatlari turli tasodifiy omillarga bog‘liq bo‘lib avvaldan qanday qiymatga teng bo‘lishi aniq aytib bo‘lmas ekan.
Tasodifiy miqdor deb sinov natijasida mumkin bo‘lgan qiymatlardan birini qabul qiladigan o‘zgaruvchan miqdorga aytiladi.
Tasodifiy mikdorlar odatda lotin alifbosining bosh xarflari X, Y, Z…. bilan, ularning mumkin bo’lgan qiymatlari esa, tegishli kichik x, y, z, … harflar bilan belgilanadi.
Diskret tasodifiy miqdor deb, mumkin bo’lgan qiymatlari chekli yoki cheksiz sonli ketma-ketlikdan iborat miqdorga aytiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor deb, mumkin bo’lgan qiymatlari biror (chekli yoki cheksiz) oraliqning barcha qiymatlarini qabul qiladigan miqdorga aytiladi.
Masalan, biror fizik kattalikni o’lchash natijasi yoki nishonning markazidan o’q tekkan joygacha masofa uzluksiz tasodifiy miqdorga misol bo’ladi.
2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.
Diskret tasodifiy miqdorni tavsiflash uchun uning barcha mumkin bo’lgan qiymatlari x₁, x₂,….x_n gina emas, balki X=x_n, X=x₂,….X=x_n hodisalarning ehtimolliklarini ham, ya’ni
Р_i=P(Х=x_i) i=1,n (4.1)
ni ko'rsatish lozim.
Tasodifiy miqdor qiymatlari bilan ularning ehtimolliklari orasidagi bog’lanishni tasodifiy miqdor taqsimot qonuni deb ataladi.
X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilishining eng sodda shakli jadval usulidir.

Х	х1	х2	…..	хn
р	р1	р2	…..	рn

n
_ P_i  1
i1


(4.2)

NAMUNAVIY MASHQLAR

1. 
   Bitta sinash o’tkazilgan. Bunda A hodisaning ro’y berishi ehtimoli
   

PA  p ga teng. A hodisaning ro’y berishidan iborat X tasodifiy miqdorning
taqsimot qatorini tuzing.

Y e c h i s h. X miqdor ikkita
x₁  0, x₂ 1 qiymatlar qabul qiladi.
PA  p

1
P^A^1  p  q . Bundan p  PX  0  q,

2

xi		1
pi	q	p

p  PX 1  p . Demak,

2. 
   10 ta detal solingan qutida 8 ta standart detal
   

bor. Tavakkaliga 2 ta detal olingan. Olingan detallar orasidagi standart detallar sonining taqsimot qonunini toping .

Y e c h i s h. mumkin
X  olingan detallar orasidagi standart detallar soni. Uning

bo’lgan qiymatlari:
x₁  0,
x₂  1,
x₃  2. Mos ehtimollarini topamiz:

PX
_C 0_C 2

C

2

  
₀ 8 2
10
1 2 _ 1 _,
10  9 45
PX
_C1_C1

C

2

  
₁ 8 2
10
8  2


45
_ 16 _,
45

PX
_C 2_C 0

C

2

  
₂ 8 2
10
8  7 _
1 2  45
28 _.
45

Izlanayotgan taqsimot qonunini tuzamiz:

3. 
   Tasodifiy miqdorning taqsimot qatori berilgan. Taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini chizing.
   

Y e c h i s h. x ga har xil qiymatlar berib,
ular uchun F(x)  PX  x larni topamiz:
x  1 da F(x)  PX  x  0
( shunindek x  1 da F(1)  PX  1  0);
1 x  2 da
F(x)  PX  x  PX  1  0,2;
2  x  5 da F(x)  PX  x  PX  1  PX  2  0,2  0,5  0,7;
x  5 da F(x)  PX  x  PX  1  PX  2 PX  5  0,7  0,3 1.
Demak (1-shakl),
y

4. ^
0, agar x  1,

F (x)  ^{
X }0,2,


agar

1  x  2,

_0,7, agar 2  x  5, _x

_^ 1,

agar

x  5.
1-shakl.

tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:

^ 0, agar x  0,

 ₄


 _x2
F (x)  ,



agar 0  x  2,

_^ 1,
agar x  2.

X tasodifiy miqdorning [1;2,6] oraliqqa tushishi ehtimolini toping.

Y e c h i s h. Ehtimolni topish formulasidan topamiz:
P1  X  2,6  F (2,6)  F (1)  1  ¹  ³ .
4 4

5. 
   Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi berilgan:
   


f (x)  ^
0, agar x  0,
 x   ,


_c sin x,
agar 0

c va


F (x)

ni toping.

^ 0,
agarx   .

Y e c h i s h. Taqsimot zichligining 5^o xossasiga binoan


 yoki
 _

0
c sin xdx c(cos x)
 c(cos  

_ csin xdx
0


Bundan U holda:
1 _
0
c  ¹ .
2
cos0)


x x
2c.

x  0 da
F (x) 
x
_ f (x)dx 

0
_0dx  0;

x

0  x   da
F (x) 
_ f (x)dx  _ f (x)dx  _ f (x)dx 

_ 0 x ₁
  0
1  1

_0dx _{ 2} sin xdx  ₂ (cos x) ₀
 (1  cos x);
2

 0
x
0  ₁
^ 1 

x  0 da
F (x) _ f (x)dx  _0dx _{ 2} sin xdx  _0dx   ₂ cos x ₀
 1.

Demak,
 

₁
0 
0, agar x  0,

2
F (x)  _ (1  cos x),

agar 0  x   ,

_

5. 
   Tasodifiy miqdor berilgan:
   

0, agar x   .

Quyidagi tasodifiy miqdorlarning
taqsimot qonunlarini toping: a)
Y  2X ; b) Z  X ² .
Y e c h i s h. a) Y
tasodifiy miqdorning qiymatlarini topamiz:

2  (3)  6,
2 1  2,
2  3  6. Ular mos

ehtimollarga ega: 0,3, 0,5, 0,2. Demak,
b) Z tasodifiy miqdorning qiymatlarini topamiz:

(3)²  9,
1²  1,
3²  9 . Ular

mos ehtimollarga ega: 0,3, 0,5, 0,2. Bunda
Z  9qiymat 0,3 ehtimolli
(3) ⁿⁱ

^{kvadratga ko’tarish va 0,2 ehtimolli} (3) ^{ni kvadratga}
ko’tarish orqali hosil qilinadi. U holda ehtimollarni qo’shish
^{teormasiga ko’ra} PZ  9  0,3  0,2  0,5. ^{Shunday qilib}

5. 
   X va Y bog’liqmas tasodifiy miqdorlar berilgan:
   

Quyidagi tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlarini toping: a)
U  X  Y .

Y e c h i s h. Qo’yidagi jadvalni tuzamiz:

Z  X  Y , b)

Bir xil qiymatli yig’indilar turgan ustunlarni birlashtirib, ushbu taqsimot qonunini hosil qilamiz:

b) U  X Y
kupaytmaning taqsimot qonunini shu kabi topamiz:

5. 
   X
   

va Y bog’liqmas tasodifiy miqdorlar taqsimot zichliklari bilan berilgan:



x
f₁ (x)  e
(0  x  ) ,
f₂ ( y) 
_{1 } y
_e 2
2
(0  x  ).

Y e c h i s h.
Z  X  Y
tasodifiy miqdorning taqsimot zichligini toping.

₁ 


Argumentlarning mumkin bo’lgan qiymatlari manfiy emas. Shu sababli

z ^{z x}
z ^{z x
z} z ^x
z x ^z z z

g(z)  _e^{ x  1} e ^{2 }
 ¹ _ e^{ x}e ²
dx  e ² _ ²
 ¹  ²  ^ 2e ^{2 }  e ^{2 }1  e ^{2 }


⁰  ²
^dx
 ^{2 0
e dx e} 
2 ₀ 2 _
  ^.
 ₀  

Demak,
z 0; da
g(z)  e
z

 _
² ^{1  e}

_ z _
² ^,

z 0; da
g(z)  0.

5. 
   X tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi berilgan:
   

^{ 1} , agar x ^ ^ ; ^{ },

f (x)  ^

2






_  ₂ 
^ _   _


^ 0,

agar
x _ ; _.

2
 ² 

Y  sin X tasodifiy miqdorning taqsimot zichligini toping.

Y e c h i s h.
y  sin x
^{funksiya } ^ ; ^{ }
oraliqda monoton.

2

2
 
 

U holda Bundan
x  ( y)  arcsin y
teskari funksiya mavjud, bu erda
y (1;1).

 ^( y)  ¹ .

Taqsimot zichligini topamiz:
g( y) 


 ¹ .

Shunday qilib,




^{g( y)  }


1 _,
1  y ²


agar


y (1;1),

_^ 0,
agar
y (1;1).

MUSTAHKAMLASH UCHUN MASHQLAR

1. 
   Tanga uch marta tashlanadi. Raqamli tomon tushishi sonining taqsimot qonunini toping.
   

Javob:

2. 
   Talabaning uchta fandan test nazorati topshirishi ehtimoli 0,7 , 0,8 va 0,6 ga teng. Talaba topshiradigan test nazoratlari sonining taqsimot qonunini toping.
   

Javob:

3.
6 ta detal
solingan qutida 4 ta standart detal bor. Tavakkaliga 3 ta detal olingan. Olingan detallar orasidagi standart detallar sonidan iborat tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.

Javob:

^ 0,

agar x  1,

^0,2,
F (x)  _
0,8,
agar 1  x  2,
agar 2  x  3,




^ 1,
agar x  3.

4. 
   Merganning bitta o’q uzishda nishonga tekkazishi ehtimoli 0,8 ga teng va u har bir o’q uzilgandan keyin 0,1 ga kamayadi. Uchta o’q uzilgan. Nishonga tegadigan o’qlar
   

sonidan iborat tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.

Javob:

 0,

agar x  0,

_0,024,

F (x) 

_0,212,


^0,664,
agar 0  x  1, agar 1  x  2, agar 2  x  3,

_^ 1,
agar x  3.

4. 
   X tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan:
   

^ 0,

agar x  3,

F (x)  _(x  3)² ,
agar 3  x  4,


_^ 1,
agar x  4.

Quyidagilarni toping: 1) tasodifiy miqdorning X  3,5 qiymat qabul qilishi
ehtimolini;2) tasodifiy miqdorning (2;3,5) va (3,5;4,5) oraliqlarga tushishi ehtimolini; 3) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini.

^ 0,
agar x  3,

Javob: 1) 0; 2) 0,25 , 0,75; 3)

f (x)  _2(x  3),
agar 3  x  4,


_^ 1,
agar x  4.

4. 
   X tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan:
   



F (x)  ^1  ¹
0, agar x  2,
^x  2  x  2,

2


_{ } arcsin ₂ ,


^ 1,
agar


agar x  2.

Quyidagilarni toping: 1) tasodifiy miqdorning X 1 qiymat qabul qilishi
ehtimolini;2) tasodifiy miqdorning (–3;1) va (1;2,5) oraliqlarga tushishi ehtimolini;3) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini.

^ 0,



agar x  2,

Javob: 1) 0; 2) ² ,
3
¹ ; 3)
3
f (x)  ^{ 1}
, agar
 2  x  2,


^ 1,
agar x  2.

4. 
   Kompyuter qurilmasi buzulmasdan ishlash vaqtidan iborat tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi berilgan:
   

f (x)  ¹
T

• 
  x
  

e ^T ,
x  0.

1) T vaqt davomida kompyuter buzulmasdan ishlash ehtimolini; 2)
F (x)
ni;

³⁾ P(T  X
 2T )
1
ni toping.


_ x


e  1

Javob: 1) ;
e
2) F (x)  1  e ^T ,
x  0;
3) .
_e2

4. 
   Soliq to’lovchi yillik daromadididan iborat tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi berilgan:
   

^ a _ x
_a1

f (x)  ^
_ 0 _
, agar x  0, _{a  0.}

 x_{0 } x _
_

0, agar x  0,

1) F (x)
ni; 2) 0,5 ehtimol bilan
x₀ dan ortiq bo’lgan yillik daromad hajmini;

3) P(x₀  X
 2x₀ )
ni toping.

^  ^x a

_1  _ ⁰ _ ,
agar x  0,

0
Javob: 1)
F (x)  _


 ^x 
0,


agar x  0,
a  0;
2) 2^{ a} x ;
3) 1  2^a.

4. 
   X tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi berilgan:
   

f (x) 
2c _,
ex _{ e}x
  x  .

1. 
   noma’lum c keffitsiyentni; 2)
   

F (x)
ni; 3)
P0  X
 ln
3 ni toping.

Javob: 1) ¹ ;

2) F (x) 
² arctg (e^x );

3) ¹ .
6

4. 
   Illita avtomat-stanokda bir xil detal ishlab chiqariladi. Har bir stanokda smena davomida yaroqsiz detallar ishlab chiqarish sonining taqsimot qonuni
   

berilgan: Smena davomida har ikkala stanokda yaroqsiz detallar ishlab chiqarish sonining taqsimot qonunini toping.

Javob:

4. 
   Ikkkita mergan nishonga 2 tadan o’q uzdi. Ularning nishonga
   

tekkazishi ehtimollari 0,6 va 0,7 ga teng. Jami nishonga tegishlar sonining taqsimot qonunini toping.

Javob:

4. 
   12.
   

X
diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan:

1) Y  X ²  1;
2) Z  X  | X |
tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlarini

toping.

Javob:

4. 
   X va Y yzluksiz tasodifiy miqdorlar o’zaro bo’g’liqmas tasodifiy miqdorlar bo’lib, ushbu
   

f (x)  ae^{ ax} ,
x  0,
f ( y)  ae^{ ay} ,
y  0

zichlik funksiyalari bilan berilgan.
Z  X  Y
tasodifiy miqdorning zichlik

funksiyasini toping. Javob:
f (z)  a² ze^az ,
z  0.

4. 
   X va Y yzluksiz tasodifiy miqdorlar o’zaro bo’g’liqmas tasodifiy miqdorlar bo’lib, ushbu
   

f (x) 
_{1 }( x3)²
_e 32 _,
f ( y)  ¹
_( y1)²
18

e
3 2

zichlik funksiyalari bilan berilgan. funksiyasini toping.
Z  X  Y
tasodifiy miqdorning zichlik

Javob:

f (z)  ¹
_( x2)²
50 _.

e
5 2

4. 
   X yzluksiz tasodifiy miqdorlarning zichlik funksiyasi
   

f (x)
bo’lsa,

Y  5X
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping.

Javob:

g( y)  ¹
5
 ^y 

f .
 ₅ 

 

4. 
   X yzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan:
   

f (x)  e^{ x} , x  0.
Y  e^{ X} tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini va taqsimot qonunini toping.

Javob:

^0,


g( y)  _1,


^0,

agar y  0,
agar 0  y  1, ;
agar y  1.
^0,


G( y)  _ y,


^1,

agar y  0,
agar 0  y  1, .
agar y  1.

4.