Diskret va

1- Teorema. Diskret tasodifiy miqdorning matematik qutilishi uning kuzatilayotgan qiymatlarini (sinovlar soni kata bo‘lganda) arifmetik o‘rtacha qiymatga teng.

Isbot. Faraz qilaylik n ta sinov o‘tkazilayotgan bo‘lib, X miqdor
х₁, х₂ ,..., х_л
qiymatlarini

m₁, m₂ ,..., m_л
martadan qabul qilsin. Ravshanki, bunda
m₁  m₂  ...  m_л  n ^{. U holda, X}

tasodifiy miqdor qiymatlarining o‘rta arifmetigi (vaznligi)

_{х } х₁m₁  x₂m₂  ...  x_km_k
n
yoki

x  x ^m1  x ^m2  ...  x ^mk
1 _n 2 _n k _n

Agar
^m1 koeffitsent i  1, k  ni X  x hodisaning nisbiy chastotasi W ekanligini e’tiborga

_n 1 1
olsak, ehtimolning statistik ta’rifidan yetarlicha katta n lar uchun W₁  p₁ ni yozish
mumkin. Shuning uchun x  x₁ p₁  x₂ p₂  ....x_k p_k yoki x  M X . Teorema isbotlandi.
Yuqoridagi teoremadan kelib chiqib, tasodifiy miqdorning matematik qutilishini uning mumkin bo‘lgan qiymatlari o‘rta arifmetigi deb ham yuritiladi.
Matematik qutilish quyidagi xossalarga ega: М [С]=С, С- o`zgarmas, xususan M[M[Х]]=M[Х] М [Х₁+Х₂+…+Х_n]=M [Х₁]+M[Х₂]+…M[Х_n]

2. 
   M [Х₁ Х₂…Х_n]=M[Х₁]• M[Х₂ ]…M[Х_n] xususan M[СХ]=СM[Х]
   

4) Binomial taqsimotning matematik qutilishi sinovlar sonini bitta sinovda hodisaning ro`y berish ehtimolligi ko`paytmasiga teng:
M[Х]=np (5,3)
Puasson taqsimotining matematik qutilish

М Х    ,
  np
(5,4)

Ta’rif. Х-М[Х] tasodifiy miqdor X tasodifiy miqdorni o`zining matematik qutilishidan chetlanishi (og`ishi) deyiladi.
Chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega:

Х-M[Х]	х1-M[Х]	х2-M[Х]	………	хn-M[Х]
Р	р1	р2	………	рn

Chetlanish ning muxim xossalaridan biri

M[Х-M[Х)]=0 (5,5)
haqiqatdan,
M[Х-M[Х]]=M[Х]-M[M[Х]]=M[Х]-M[Х]=0

2. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

Amaliyotda, ko`p hollarda tasodifiy miqdorning mumkin bo`lgan qiymatlarini uning o`rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baxolash talab qilinadi. (5,5)dan

ko‘rinib turibdiki,
Х  М Х 
chetlanish yordamida X tasodifiy miqdor o‘rtacha

chetlanishini ya’ni uning tarqoqlik darajasini aniqlab bo‘lmaydi. Bu esa ba’zan noma’lum bo‘lib, shu sababli uni to‘liq o‘rganish mumkin bo‘lgan qiymatlari har xil bo‘lgan tasodifiy miqdorlar ham talaygina. Masalan, X va Y diskret tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. X diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarkokligi) deb, uni o`zining matematik qutilishidan chetlanishi kvadratining matematik qutilishiga aytiladi. Dispersiya D[Х] bilan belgilanadi. Shunday qilib
D[Х]=M[Х-M[Х]]<sup>2</sup> (5.6)
yoki matematik qutilish xossalaridan kelib chiqib, dispersiyani hisoblash uchun qulay bo`lgan quyidagi formulani xosil qilish mumkin
D[Х]=M[Х²]-(M[Х])² (5.7)
Dispersiyaning asosiy xossalari.
1) D[c]=0, с-o`zgarmas: 2) D[cХ]=c²D[Х] 3) D[Х₁+Х₂+…..+Хn]=D[Х₁]+D[Х₂]+…D[Х_n]

4. 
   Binomial taqsimotda D[Х]=npq, q=1-p
   
5. 
   Puasson taqsimotida DХ    ,   np
   

2. O`rtacha kvadratik chetlanish.

X diskret tasodifiy miqdorning  х

o`rtacha kvadratik chetlanishi deb,

dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:
 х 


(5.8)

NAMUNAVIY MASHQLAR

1. X diskret tasodifiy miqdor

berilgan.
M X  ^{ni toping.}
taqsimot qonuni bilan

Y e c h i s h. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi formulasidan
^topamiz: M X  1 0,05  2  0,3  3  0,2  4  0,3  5  0,15  ^3,2.
2-misol. X uzluksiz tasodifiy miqdor



_3x
f (x)  ^


0, agar
² , agar
0, agar
x  a,
a  x  b, x  b

zichlik funksiyasi bilan berilgan.
M X  ^{ni toping.}

Y e c h i s h. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi formulasiga asosan

M X   _ x3x² dx 
0



 ³ .
₀ 4

3. 
   ^{1-misolda berilgan} X ^{diskret tasodifiy miqdor uchun} DX  ^{ni toping.}
   

^{Y e c h i s h. 1-misolda aniqlanishicha} M X   3,2. M X ²  ^{ni topamiz:}
M X ² 1²  0,05  2²  0,3  3²  0,2  4²  0,3  5²  0,15  11,6.
U holda
DX  11,6  (3,2)² 1,36.

3. 
   2-misolda berilgan X uzluksiz tasodifiy miqdor uchun D( X ) ni toping.
   

1
Y e c h i s h. 2-misoldan U holda
^{M ( X )  3} .
4

DX 
1
 _ x²
 3x
2

 ³ 
² dx  _{ }
4
^ 3 
_ 9
_ 3 _ 9
_ 3 _.

0  
₀ 16
5 16 80

3. 
   X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan:
   

M X , DX ,  ( X ) larni toping.
Y e c h i s h.
M X   2  0,1  3  0,4  10  0,5  6,4 ;
M X ²  2²  0,1  3²  0,4  10²  0,5  54 ,
DX   M X ²  M ² X   54  (6,4)² 13,04;
 ( X )   3,61.

3. 
   X uzluksizt tasodifiy miqdor taqsimot zichligi bilan berilgan:
   


^ 0,


agar
x   ^ ,
2

₁

2
f (x)  _ cos x,



agar
 ^  x  ^ , 2 2


M X ,
DX ,
 ( X )




larni toping.
0, agar

x  . 2

  ¹ 2
u  x, du  dx,

b
Y e c h i s h.
M X  _ xf (x)dx  _{2 } x cos xdx 
dv  cos xdx,
v  sin x ^

a _^
2
 _ ^  _

 ^{1 } xsin x ²  sin xdx ^  ¹ cosx
2

2

2
2
 0;

b
  ²
 _^{ } 




_{2 }
2

2


2 _{ } ^{1 2} 2

_
2
u  x² ,
du  2xdx,

D X  _ x
a


f (x)dx  M X

 _
 _ x
_
2
cos xdx 
dv  cos xdx,
v  sin x ^


¹  ^{ 2}
_ u  x,
du  dx, _ ^{2  2}

 _{2 }

x² sin x ²



2

• 
  _ 2xsin xdx _ 
  


_
2
dv  sin xdx,
v  cos x
  xcosx ²

4



2

• 
  _cos xdx 
  

_
2

 _ 2
4


• 
  
  
  sin x ²
  


2
 _ 2
4
 2 


0,465;

 ( X )    0,682.

3. 
   Agar X tasodifiy miqdor uchun M X   6,2 va
   

DX   8,3
bo’lsa

^{Y  3X  5 tasodifiy miqdor uchun} M X  ^va DX  ^{ni toping.}

Y e c h i s h. Matematik kutilishning 1^o , 2^o
va 4^o
xossalariga asosan:

M 3x  5  M 3X   M 5  3  M X   5  3  6,2  5 13,6.
Dispersiyaning 1^o  3^o xossalariga binoan:
D3x  5  D3X   D5  3²  DX   0  9  8,3  74,7.

3. 
   X diskret tasodifiy miqdor uchta x₁ , x₂  2,
   

x₃ (x₁  x₂  x₃ ) qiymat qabul

qiladi. Agar p₂  0,2, p₃  0,5, M X   2,2 va
DX   0,76 bo’lsa, X tasodifiy

miqdorning taqsimot qonunini toping.
n
Y e c h i s h. Taqsimot qonuni (qatori) uchun _ p_i  1 bo’lishidan quyidagi
i1
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

^ p  p  p  1,
_ 1 2 3 _{ 
} p₁ x₁  p₂ x₂  p₃ x₃  M X ,
^ p x²  p x²  p x²  M ² X   DX .

_ 1 1
2 2 3 3

Tasodifiy miqdorning ma’lum qiymati va ehtimollarini hamda sonli xarakteristikalarni sistemaga qo’yamiz:


^ p  0,2  0,5  1,
_ 1
_ p₁ x₁  0,2  2  0,5x₃  2,2,
^ p x²  0,2  4  0,5x²  0,76  2,2².
_ 1 1 3

Sistemaning birinchi tenglamasiga ko’ra
p₁  0,3.

p₁ ni sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalariga qo’yib, bir necha almashtirishlardan so’ng, topamiz:
_ 3x₁  5x₃  18,
^ 2 2

_3x₁  5x₂
 48.

Sistemani echamiz: juftligi