1. Umumlashgan Yung tengsizligi

8-masala. Ixtiyoriy musbat sonlar uchun tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.

Yechilishi. Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligiga ko’ra

ni olamiz.

9-Masala Тo’g’ri burchakli uchburchakning tomonlari geometrik progressiya tashkil qiladi va .Uchburchakning tomonlarini toping.

Javobi: ; 1 va .

_{Umumiylikka zarar yetkazmasdan} deb olamiz. U holda, biror soni uchun , bo’ladi va tengsizlikdan ва ni topamiz. Pifagor teoremasiga ko’ra , ya’ni yoki bo’ladi. Bundan, ni hisobga olgan holda ni topamiz.

10-Masala.Uchburchakning tomonlari va uchburchakka ichki chizilgan aylana diametri biror arifmetik progressiyaning ketma-ket kelgan to’rtta hadini tashkil qiladi.Bu uchburchakning to’g’ri burchakli ekanligini isbotlang.

Javobi. -uchburchakning tomonlari, -ichki chizilgan aylana radiusi bo’lsin.Ravshanki, . Agar va -arifmetik progressiya ayirmasi bo’lsa, u holda bo’ladi. Uchburchakning yuzini ikki usul bilan yozamiz:

.

Bu yerda ekanligini hisobga olib, tenglamani hosil qilamiz va ni topamiz.Shunday qilib, , ya’ni ekan.

11-Masala. uchburchakda nuqtalar mos ravishda va tomonlarda yotsa, bo’lishini isbotlang.( - uchburchakning yarim perimetri).

Javobi. Uchburchak tengsizligiga ko’ra va .Bu tengsizliklarni mos ravishda qo’shsak,

, ya’ni bo’ladi.

Shuningdek, va . U holda, .

uchburchakdan va uchburchakdan tengsizlikdan , ya’ni ni topamiz. Shuningdek, va . Ulardan ni keltirib chiqaramiz.

12-Masala.Agar musbat sonlar tenglikni qanoatlantirilsa,

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.

uchburchak burchaklari uchun tenglikdan foydalanib,

ifodani hosil qilamiz .

deb belgilash kiritib, tengsizlikdan foydalansak,