1. Umumlashgan Yung tengsizligi

§2. Gyolder tengsizligi.

Teorema. shartni qanoatlantiruvchi barcha musbat p, q sonlar va a_j, b_j, j = 1, ..., n sonlar uchun

(4)

tengsizlik har doim to’g’ri.

Isboti. deb faraz qilamiz (aks holda (4) tengsizlik bajarilishi ravshan). Yung tengsizligini qo’llab,

 

 =

ga ega bo’lamiz. Bu yerdan (4) tengsizlik kelib chiqadi.

Izoh. Gyolder tengsizligining p = q= 2 dagi

Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligi deb ataluvchi bir muhim xususiy holini aytib o’tamiz.

1-misol (Minkovskiy tengsizligi). Ixtiyoriy musbat a_j, b_j (j = 1,...,n) sonlar va natural p son uchun

 + (5)

tengsizlikni isbotlang

Yechilishi. (a_k +b_k)^p = a_k (a_k +b_k)^p-1 + b_k (a_k +b_k)^p-1 (k=1, 2, …, n ) tengsizliklarni qo’shib,

ni olamiz.

(4) tengsizlikka ko’ra

a_k (a_k +b_k)^p-1  ,

b_k (a_k +b_k)^p-1 

larga ega bo’lamiz, bu yerdan q(p-1)= p tenglik yordamida (5) tengsizlik kelib chiqadi.

Misollar

1. 
   Gyolder tengsizligining holiga ko’ra o’rinli.
   
2. 
   Gyolder tengsizligining holiga ko’ra o’rinli.
   
3. 
   Agar va bo’lsa, ni isbotlang.
   
4. 
   Agar bo’lsa, isbotlang.
   

5)Agar va bo’lsa, ni isbotlang.

3. Ixtiyoriy natural son uchun

,

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.

deb belgilab olamiz.