1. Tebranma harakat haqida tushuncha Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi

b) fazalar farqi — U ga teng bo‘lsin.
(8) - tenglamadan quyidagi to‘g‘ri chiziq tenglamasini keltirib chiqaramiz:
yl+xl__2xy y = —
A A A A yo i A A2
Bu to‘g‘ri chiziq koordinatalar tizimining birinchi va uchinchi kvadrantlaridan o‘tadi (14 - rasm).
14 - rasm. Fazalar farqi. uga teng bo‘lgan tebranishlar qo‘shilishidagi natijaviy tebranish (Acp
= rt).
v) fazalar farqi Aty — ga teng bo‘lsin, u holda (8) - tenglama ellips tenglamasiga
2
o‘tadi:
2 2 x y 1 + — 1
A1 A2
n
Bu yerda ellipsning yarim o‘qlari tebranish amplitudalariga teng bo‘ladi. — va
2
n
— hollar ellips bo‘yicha harakat yo‘nalishlari bilan farq qiladilar (15 - rasm).
Ax — A2 bo‘lganda ellips aylanaga aylanadi.
+
15 -rasm. Fazalar farqi — ^ ga teng bo‘lgan tebranishlar qo‘shilishidagi natijaviy tebranish.
n
g) Ikkala tebranish davrlari bir xil bo‘lib, fazalar farqi dan farq qilsa, nuqtaning
2
traektoriyasi og‘ishgan ellips ko‘rinishga ega bo‘ladi (16 - rasm).
d) Tebranishni tashkil etuvchilar davrlari har xil bo‘lganda va har xil boshlang‘ich fazalarda natijaviy tebranish traektoriyalari murakkab ko‘rinishga ega bo‘ladi. Ularning ayrim kcfrinishlari 17 - rasmda keltirilgan.
16 -rasm. Og‘ishgan ellips ko‘rinishidagi natijaviy tebranish ^
n
2
Ai=A2 wi=3to:/2
A
17 — rasm Lissaju figuralari.
Bunday egri chiziqlar Lissaju figuralari deb ataladi.
So‘nuvchi mexanik tebranishlar
Vaqt o‘tishi bilan tebranish tizimining energiyasi asta-sekin yo‘qotilishiga bog‘liq tebranishlar - so‘nuvchi tebranishlar deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, energiya zahirasi muhitning qarshiligi, ishqalanish kuchlarini yengishga sarf bo‘ladi va tebranish so‘na boshlaydi, tebranish amplitudasi asta-sekin kamaya boradi. Bu xollarda erkin so'nuvchi tebranma harakatlar kuzatiladi.
Mexanik tebranma harakatlarda ishqalanish hisobiga mexanik energiya issiqlik energiyasiga o‘tib, kamaya boradi.
So‘nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasini keltirib chiqarishga harakat qilamiz. Tebranuvchi jismga qaytaruvchi kuch va jismning harakat tezligiga proportsional bo‘lgan qarshilik kuchlarning yig‘indisi ta’sir etadi, deb hisoblaylik.
Bu yerda Fq
rdL
r ^ qarshilik kuchi, r - qarshilik koeffitsienti,
dy
, - harakat
dt
tezligi, “-“ ishora ishqalanish kuchi doimo harakat tezligi yo‘nalishiga teskari ekanligini bildiradi.
OU o‘q bo‘ylab to‘g‘ri chiziqli so‘nuvchi tebranish uchun Nyutonning II qonuni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
m
d2 y dt2
2 dy
= F + Fk =~m®o y -r
dt
(1)
Bu yerday - tebranuvchi kattalik, (D0 - qarshilik kuchi yo‘qligidagi tebranishlar chastotasi
yoki tebranuvchi tizimning xususiy chatotasidir.
Tenglikning hadlarini m ga bo‘lsak, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:
d2 y r dy 2 A
-o--1----^ 'n y — 0 (2)
dt m dt ’
Bu ifoda erkin so'nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasi deb ataladi.
r
Bu yerda — 2p, P - so'nish koeffitsienti deb ataladi.
m
(2) tenglamani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
d2 y dy 2
OF+ipd+'y—0 • (3)
Bu tenglamaning yechimi
y — Ae~P sin('t +
, (4)
yerda, ' — V®02 -P2 so‘nuvchi tebranishning chastotasidir
dan iboratdir. Bu
m' — ' - P
'0 -
4m
2 ,
(5)
2
Muhitning qarshiligi bo‘lmagan holatda (r = 0) (5) - ifoda tizimning xususiy chastotasiga tenglashadi:
m' — '.
(4) - funksiya ko‘rinishiga qarab, tizimning harakatini ' ' chastotali, amplitudasi vaqt bo‘yicha o‘zgaradigan quyidagi
A(t)—Af pt
so‘nuvchi tebranish deb qarash mumkin. Bu yerda A0 - vaqtning boshlang‘ich holatidagi tebranish amplitudasidir.
18 - rasm. Erkin sonuvchi tebranishning amplitudasining vaqtga bogliq ozgarishi.
18 - rasmda amplituda va siljishning vaqtga bog‘liq egri chiziqlari keltirilgan. Egri chiziqlarning yuqorigisi
A(t) — A e-pt
funksiya grafigini belgilaydi. Bu yerda A0 va y0 boshlang‘ich momentdagi amplituda va siljishning qiymatlaridir.
Boshlang‘ich siljishy0 o‘z vaqtida, A0 dan tashqari, boshlang‘ich fazaga ham bog‘liqdir:
y0 = A0srna
r
Tebranishning so‘nish tezligi p = bilan aniqlanadi va u so‘nish koeffitsienti deb
2m
ataladi.
Amplituda “e” marta kamayishga ketgan vaqt -Bt -1
e P = e ,
ga tengdir. So‘nuvchi tebranishlar davri
2n
1 2m
T =
co
P r
(6)
ifoda bilan aniqlanadi. Muhitning qarshiligi sezilarli ravishda kichik bo‘lganda tebranish davri xususiy davrga teng bo‘ladi:
(p2 <&o2 ).
T
r>
2k
&
So‘nish koeffitsienti ortishi bilan tebranish davri orta boradi.
Bitta to‘la davrning boshlang‘ich va oxirgi holatlariga mos keluvchi amplitudalar nisbati quyidagiga tengdir:
A(t) _
" (7)
A(t + T)
= e
va u so‘nish dekrementi deb ataladi. Bu ifodaning logarifmi so‘nishning logarifmik dekrementi deb ataladi:
S = ln
A(t)
ln eP = Pt
(8)
A(t + T)
So‘nishning logarifmik dekrementi bir davr ichida amplitudaning nisbiy kamayishini xarakterlaydi, so‘nish koeffitsienti esa apmlitudaning birlik vaqt ichidagi nisbiy kamayishini ko‘rsatadi.
Yuqorida ta’kidlangandek, so‘nish koeffitsienti r qarshilik koeffitsientiga to‘g‘ri va tebranuvchi jismning massasiga teskari proportsionaldir.
19 - rasm. Davriy bo‘lmagan aperiodik tebranish P > &o
(5) - ifodadan siklik chastota O xususiy chastota - Oq dan kichikligi ko‘rinib turibdi. Agarda
2 2
muhitning qarshiligi juda katta bo‘lsa ft > Oq dir, ildiz ostidagi Oq — ft ifoda manfiy,
tsiklik chastota esa mavhum bo‘ladi. Bu holatda jism davriy bo‘lmagan - aperiodik harakat qilaboshlaydi (19 - rasm).
Majburiy mexanik tebranishlar
Doimo ta’sir qiluvchi, davriy tashqi kuch ta’sirida tizimning tebranishi majburiy tebranishlar deb ataladi. Ta’sir etuvchi kuch majbur etuvchi kuch deb ataladi.
Oddiy holatlarda bu kuch garmonik qonuniyatlarga asosan o‘zgaradi:
F = F0 sin ot
bu yerda F0 - majbur etuvchi kuchning amplitudasi, O - shu kuch o‘zgarishining tsiklik chastotasi. Odatda, tebranayotgan tizimga majbur etuvchi kuchdan tashqari, qaytaruvchi kuch
Fq = ky = moQ y va muhitning qarshilik kuchi Fq
qarshilik
= —ru = r
dy
dt
ta’sir etadi. Bu
kuchlarning ta’siri natijasida m massali tizim Nyutonning II qonuniga asosan a - tezlanish oladi.