1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

1. Termodinamik kattaliklarni hisoblash

Gibbs taqsimotlarining ayrim qo’llanish sohalarini tekshirishga o’tamiz. Dastlab, bir atomli ideal klassik gazdan tashkil topgan tizimni tekshiraylik. Ideal gazdan tashkil topgan tizim deganimizda undagi zarralarning o’zaro ta’sir energiyasi ularning kinetik energiyasiga nisbatan juda kichik bo’lgan hol tushuniladi. Umumiy holda ideal gaz tekshirilganda zarralarning kinetik energiyasi bilan bir qatorda ularning tashqi maydondagi potensial energiyasi hisobga olinadi.

Yuqorida ko’rganimizdek, tizimning termodinamik kattaliklarini (ozod energiya, entropiya, ichki energiya va sh.k.) hisoblash uchun shu tizimga tegishli bo’lgan Z - statistik integralni hisoblamoq lozim. Ideal gaz nurlanish va garmonik yaqinlashuvda kristallarning nazariyasi uchungina Z ni aniq hisoblash mumkin. Qolgan barcha tizimlar uchun Z taqriban hisoblanadi. Faraz qilaylik, tizimdagi zarralar soni N ta bo’lsin (N=const deb hisoblaymiz). U holda erkinlik darajasining soni s=3N bo’ladi va holat integrali


(1.1)

ko’rinishga ega bo’ladi. Holat integralida ishtirok etuvchi H(q,p) Gamilton funksiyasi tizimni tashkil etuvchi N ta zarra uchun Dekart koordinat tizimida

(1.2)

ko’rinishga egadir.

Ideal gaz uchun holat integrali va termodinamik funksiyalarni hisoblashda tashqi maydonning potensial enegiyasini hisobga olmaymiz. Gaz V hajmli idish ichida joylashgan bo’lsin. U holda
(1.3)

Barcha zarralarning turlicha koordinatlari shu V hajm ichida joylashgan bo’ladi. (1.2) ni (1.1) ga tadbiq etamiz:

(1.4)

(1.4) da ideal gaz zarralarining bir xilligini hisobga olib, 6N karrali integralni 6N ta bir-biriga bog’liq bo’lmagan integral ko’rinishda oldik. Agar (1.3) ni hisobga olsak, tizimdagi bitta zarra uchun:

(1.5)

bo’ladi va (1.4) holat integrali quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(1.6)

Impulsning proyeksiyalari bo’yicha integrallar Puasson integrallarini beradi (3.3), ya’ni:

(1.7)

Shuning uchun,(1.6) ni integrallagandan so’ng bir atomli ideal klassik gaz uchun statistik integral

(1.8)

ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan

Juda katta sonlar uchun N>>I bo’lgan hollarda Stirling formulasidan foydalanish mumkin:

(1.9)

U holda:

(1.10)

lnZ uchun hosil qilingan bu ifoda N zarralar soniga proporsionaldir. Buning natijasida (II.3.7), (II.3.8) va (II.3.10) larga asosan ozod energiya, entropiya va o’rtacha energiya ekstensiv kattalik, ya’ni tizim o’lchoviga bog’liq bo’ladi. Shunday qilib, bir atomli ideal klassik gaz uchun (1.10) ni hisobga olsak, quyidagi makroparametrlarning qiymatlarini hosil qilamiz:

ozod energiya:


; (1.11)

o’rtacha energiya:

; (1.12)

entropiya

, (1.13)

bu yerda

.

Endi (II.3.5) ning to’g’riligini ko’rsataylik. Tizimdagi zarralar bosimi ozod energiyaga bog’liqligidan

(1.14)

kelib chiqadi. Bu ifoda bir gramm-molekula ideal gaz uchun Mendeleyev-Klapeyron tenglamasi p=k₀N_AT/V ga muvofiq kelishi lozim (N_A - Avagadro soni). Shuning uchun statistik temperatura bilan absolyut temperatura orasida bog’lanish mavjud.

Tizim mexanik energiyasining statistik ansambl bo’yicha o’rtachasi (1.12) shu tizimning termodinamik ichki energiyasiga teng. Termodinamikadan ma’lumki, tizim ichki energiyasini bilgan holda, uning C_V hajmi doimiyligidagi issiqlik sig’imini hisoblash mumkin. Shuning uchun:
(1.15)

bo’ladi.
Shunday qilib, ideal gaz uchun Z holat integralidan foydalanib asosiy termodinamik kattaliklarni hisobladik. (1.11) - (1.15) formulalaridan ko’rinib turibdiki, Z holat integrali shunday statistik muhim parametrki, u orqali barcha termodinamik kattaliklarni hisoblash mumkin. (1.13) ga muvofiq ideal gaz entropiyasi T0 bo’lganda cheksizlikka intiladi. Bu termodinamika uchinchi qonuniga va kuzatish dalillariga ziddir. Demak, juda past temperaturalarda klassik statistik fizikadan foydalanish mumkin emas. Shuning uchun (1.4) orqali hosil qilingan qolgan barcha termodinamik kattaliklar ham past temperaturalarda noto’g’ridir.

Termodinamik holat tenglamasining emperik Mendeleyev-Klapeyron tenglamasiga muvofiq kelishi statistik nazariyaning to’g’riligini belgilaydi. Ikkinchi tomondan, bu xulosa termodinamik formula bo’lmish ideal gaz holat tenglamasining nazariy jihatdan asoslanishidir.