1 Sirtlarga urinma tekisliklar o‘tkazish, sirt ustidagi nuqtalarning

Sirtning giperbolik nuqtasi



rasm. rasm.
Bunday sirtlarga bir pallali giperboloid, giperbolik paraboloid kabi sirtlarning nuqtalari misol bo‘la oladi.
Urinma tekisliklar amaliy va nazariy jihatdan katta ahamiyatga ega. Nazariy jihatdan, urinma tekisliklardan differensial geometriyada sirtlarning urinish nuqtasi atrofidagi xossalarini o‘rganishda keng foydalaniladi. Urinish nuqtasidagi normalning yo‘nalishini aniqlashdan esa muxandislik amaliyotida keng foydalaniladi. Bundan tashqari, urinma tekisliklardan arxitektura va rassomchilik amaliyotida sirtlarning o‘z soyasi yoki tushgan soyasining chegaralarini aniqlashda, chizma geometriyada sirtlarning ocherklarini yasashda keng qo‘llaniladi.

Sirtning ixtiyoriy nuqtasi orqali urinma tekislik o‘tkazish

Sirtdagi ixtiyoriy nuqtadan yagona urinma tekislik o‘tadi. Bu tekislik sirtning urinish nuqtasiga o‘tkazilgan bir juft kesishuvchi urinma to‘g‘ri chiziqlarning proyeksiyalari orqali tasvirlanadi. Sirtning ixtiyoriy nuqtasiga urinma tekislik o‘tkazishga doir bir necha misollarini ko‘rib chiqamiz.
-masala'>1-masala. Sferaning A(A′, A″) nuqtasi orqali urinma tekislik o‘tkazilsin (rasm).
Echish. Izlagan urinma tekislik urinish nuqtasi A(A′,A″) orqali o‘tkazilgan OA(O′A′,O″A″) radiusga perpendikulyar bo‘ladi. Shunga ko‘ra, to‘g‘ri chiziq va tekislikning o‘zaro perpendikulyarlik shartiga asosan, A nuqtadan sferaning OA radiusiga perpendikulyar qilib, ikkita urinma to‘g‘ri chiziq, ya’ni gorizontal h(h′,h″) va frontal f(f′,f″) chiziqlar o‘tkaziladi. Bu chiziqlar birgalikda izlangan urinma tekislikni ifodalaydi;
2-masala. (′,″) aylanish sirtining ixtiyoriy A(A′, A″) elliptik nuqtasi orqali unga urinma tekislik o‘tkazilsin (14.8-rasm).
Echish. Izlangan urinma tekislikni sirtning A nuqtasi orqali o‘tgan paralleli va meridianiga urinma bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar orqali ifodalash qulaydir.

расм.
Urinma tekislikni ifodalovchi chiziqlarni yasash algoritmi quyidagicha bo‘ladi:

• 
  A(A′,A″) nuqtadan sirtning N(N_V) tekislikdagi ℓ (ℓ′, ℓ″) paralleli va M(M_H) tekislikdagi c(c′,c″) meridiani o‘tkaziladi;
  
• 
  ℓ(ℓ′,ℓ″) parallelning A(A′,A″) nuqtasidan a(a′,a″) urinma o‘tkaziladi; Bu urinma, tekislikning gorizontali bo‘ladi.
  
• 
  c(c′,c″) meridian chizig‘iga o‘tkazilgan urinmaning gorizontal proyeksiyasi b′ ni a′ ga perpendikulyar qilib o‘tkaziladi.
  
• 
  b urinma chiziqning frontal proyeksiyasi b″ ni yasash uchun aylanish o‘qi i(i′, i″) va A(A′, A″) urinish nuqtasidan iborat M meridian tekisligini V proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lgunga qadar i atrofida burib, A nuqtaning, yangi A₁(A′₁,A″₁) vaziyati aniqlanadi;
  
• 
  A urinish nuqtasining yangi A″₁ frontal proyeksiyasidan sirtning frontal proyeksiyasi chegara chizig‘i c″₁ ga urinma o‘tkazib, i′ o‘qi bilan kesishgan joyda S″ nuqta aniqlanadi;
  
• 
  S″ va A″ nuqtalarni birlashtirib, b″ ni hosil qilinadi. Natijada hosil bo‘lgan kesishuvchi a(a′, a″) va b(b′, b″) urinma chiziqlar izlangan urinma tekislikni ifodalaydi.
  

3 masala. Konus sirtining ixtiyoriy B(B′,B″) parabolik nuqtasi orqali urinma tekislik o‘tkazilsin (11.9-rasm).
Echish. Izlangan tekislik konus sirti bilan, to‘g‘ri chiziq bo‘ylab urinadi. Uni yasash algoritmi quyidagicha:

• 
  Konus uchi S(S′, S″) bilan berilgan B(B′, B″) nuqtani o‘zaro birlashtirib, urinish chizig‘ining b′ va b″ proyeksiyalari aniqlanadi;
  
• 
  b(b′,b″) chiziqning konus asosi bilan kesishgan A(A′, A″) nuqtasidan konus asosiga urinma to‘g‘ri chiziq t(t′, t″) o‘tkaziladi; Bunda t′b′ bo‘ladi.
  
• 
  Hosil bo‘lgan kesishuvchi b(b′, b″) va t(t′, t″) to‘g‘ri chiziqar izlangan urinma tekislikni ifodalaydi. Konus uchi orqali cheksiz ko‘p urinma tekisliklar o‘tadi, chunki S dan o‘tuvchi cheksiz yasovchi-urinish chiziqlari mavjuddir.