1-Mustaqil ish Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari

6-xossa.

7-xossa.

8-xossa.

Oxirgi tenglik Koshi¹ ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,



ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:

Bu yerdan, s ko'phaddagi x ⁿ ifodaning koeffitsiyenti

yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.

Ikkinchidan, s =(l+x)ⁿ(l +(1 +x)+...+(1 +x)^k) ifodani geometrik

progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan, quyidagicha ham yozish

mumkin:

Bu yerda ham Nyuton binomi fonnulasini qo'llab, hosil bo'lgan ko'phadning xⁿ daraja qatnashgan hadi koeffitsiyenti ekanligini ko'rish mumkin.

Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xos- sadagi tenglikka ega bo'lamiz.

Ravshanki, formula e'tiborga olinsa, 7-8-xossadan m =k=n

bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat

8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.

Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko'ra,

tengliklarga, bulardan csa (l+x)ⁿ (1+x)^m=(1+x)^n+m bo'lgani uchun

tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglikning har ikki tomonidagi

x^k(k=0,l,...,min(m,n)) daraja koef- fitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz.

Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin.

Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.

2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan к (k= 0,l,...,min(m,n)) talaba tanlash zarur bo'lsin. n+m talabalardan к talabani xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.

Boshqa tomondan olib qaraganda, n+m talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha к elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor.

Tarkibida s (o≤S≤k)o'g'il bola bo'lgan к elementli qism to'plamni oldin xil usul bilan tanlab,keyin (k—s) qizlarni xil usullardan birontasi

yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan к talabadan

iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, songa tengdir. Noldan k gacha bo'lgan barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz.

Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash

mumkin.