1-Mustaqil ish Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI

MUHAMMAD AL-XOZAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

1-Mustaqil ish

Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari.

Guruh: 830-20

Bajardi:Mo’minov z

Tekshirdi: Qo’ldoshev



Nyuton binonimi. Binomial koeffietsientlarning xossalari.

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.

Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega

Nyuton binomi. Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. O'rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko'paytirish formulalarini eslaylik:

(a+b)²=a²+2ab+b² — yig'indining kvadrati;

(a+by=a³+3a²b+3ab² — yig'indining kubi. Yig'indining navbatdagi ikkita, ya'ni 4- va 5-darajalarini hisoblaymiz:



Shunday qilib, yig'indining bikvadrati (ya'ni to'rtinchi darajasi) va yig'indining beshinchi darajasi

(a+b)⁵=a⁵+5a*b+10a³b²+l0a²b³+5ab*+b⁵

formulalariga ega bo'lamiz.

Yuqorida keltirilgan yig'indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o'ng tomonlaridagi ko'phad

koeffitsiyentlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi

(n=2,3,4,5) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o'rinlidir.

lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: n= 1 bo'lganda formula to'g'ri: . Induksion о 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula n=k uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni

. Formula n=k+1 bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:



Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi, deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan, ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi.

Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo'lgan holida

(ya'ni yig'indi

kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va

Ali Qushchi ifodani n>2 bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga

yoya bilganlar.

Nyuton Esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar

uchun ham qo'llagan.

L.Eyler1774yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun

isbotladi,K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchunqo'lladi.Nihoyat,1825-yildaN.Abel daraja ko'rsatkichining

istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.

C sonlarni binomial koeffitsiyentlar, deb ham atashadi. Bunday ta'rif bu koeffitsiyentlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o'rniga qarab berilgan bo'lib,

C son yoyilmadagi ifodaning koeffitsiyentidir.

2-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun



formula o'rinlidir.

Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (—b) ga almashtirsak, kerakli formulani hosil qilamiz.

1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko'paytirish

formulalari kelib chiqadi:

n=2 bo'lganda ayirmaning kvadrati formulasi



n=3 bo'lganda ayirmaning kubi formulasi



Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.

Haqiqatan ham, ixtiyoriy sonlar uchun ifodani

ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o'ng tomonida joylash- gan oldidagi koeffitsiyent birga teng. Birinchi qavslar

ichidagi qo'shiluvchilar soni n ga tengligi yaqqol ko'rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar (n ta)elemcntlardan ikkitadan ko'paytmalar (soni ga teng

grupalashlar) ekanligini ham payqash qiyin emas. Uchinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar esa o'sha n ta elementlardan uchtadan

ko'paytmalar bo'lib, ularning soni ga teng va hokazo.

Oxirgi qo'shiluvchi oldidagi koeffitsiyent birga teng.

Yuqoridagi tenglikda deb olsak,Nyuton binomi formulasini

hosil qilamiz.