1-Mustaqil ish Mavzu: Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari

Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koeffitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.

1-xossa. tenglik o'rinlidir.

Haqiqatan ham,



Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki

elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi:

bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.

2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi.

3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi

juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.

Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda,

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi.

2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

4- xossa. n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun

tenglik hmda n sondan oshmaydigan

eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir.

5-xossa.Toq n son uchun

juft n son uchun esa

munosabatlar о`rinlidir.

Haqiqatan ham, shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy

natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir,

bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda,

formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni

hosil qilamiz.

Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak,

formuladan bo'lganda

tenglik kelib chiqadi.

Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bo`lib, unga ko`ra binomial koeffitsiyentlar oldin dan gacha¹ o'sadi, keyin esa

gacha kamayadi hamda n toq bo'lganda, binomial koeffitsiyentlar

qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo'lganda, uning o'rtadagisi

hadi eng katta va yagonadir.