1-mısal. Qálegen, hám sanlar ushın ekenligin dálilleń. Sheshiliwi

Teńsizlikti dálillewdiń klassik usullari.
§1. Sanlı teńsizlikler haqqında.
2. Teńsizliklerdi dálillewdıń usılları haqqında.
1-mısal. Qálegen , hám sanlar ushın ekenligin dálilleń.
Sheshiliwi: Qálegen a, hám sanlar ushın ayırmanı keri emesligin kórsetemiz:

Qálegen sannıń kvadratı keri san bolǵanı ushın ham .
Demek, qálegen , hám sanları ushın keri emes. Sol sebepli berilgen teńsizlik qálegen , hám sanları ushın orınlı. Atap aytqanda, teńlik belgisi bolǵandaǵana atqarıladı.
Teńsizliktiń tuwrılıǵın kórsetiw ushın onıń hár eki bóleginiń ayırmasın oń yamasa keriligin anıqlaw, yaǵnıy 1-mısaldaǵı sıyaqlı tariypten paydalanıp dálillewge háreket qılıw ayırım jaǵdaylarda júdá qıyın boladı. Sol sebepli teńsizliklerdi dálillewde teńsizliklerdiń ózgesheliklerinen paydalanıladı.
2-mısal. Oń ham sanlar ushın teńsizlikti dálilleń.
Sheshiliwi: Teńsizliktiń shep bóleginde forma almastırıw atqarıp, onı tómendegi kóriniste jazamız:
(1)
Eki oń san ushın orta arifmetik hám orta geometriyalıq bahalar arasındaǵı Koshi teńsizliginen paydalanamı
, ,
Bul teńsizliklerdi ag’zama-ag’za qosıp, (1) teńsizlikti payda etemiz.
§2. Ortasha mánis hám olar arasındaǵı qatnaslar.
(II.1.1)-Teorema nátiyjesin ámelde qollanıwlarına tiyisli mısallar qaraymız.
II.1.1-misal. Eger , , …., lar oń sanlar bolsa,

Ekenligin dálilleń, bunda teńlik belgisi orinlaniwi ushın bolıwı zárúr hám jetkilikli bolıp tabıladı.
Sheshiliwi: bizge belgili

Ol halda qaralip atirǵan teńsizlik (II. 1. 1)-teoremadan kelip shıǵadı. Teńlik belgisi bolsa tek bolǵanda yaǵnıy bolǵanda orınlanadı.