1-misol to‘plam sifatida

1-misol. to‘plam sifatida – sonlar to‘g‘ri chizig‘i yoki – haqiqiy sonlar to‘plami ni olsak hamda ixtiyoriy va sonlar uchun desak, u holda, ma’lumki, bu metrikaning hamma aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, metrik fazo tashkil qiladi.
2-misol. ─ ko‘p o‘lchovli sonlar fazosi. sifatida ko‘rinishdagi to‘plamni olaylik. Bu to‘plamning ikki va elementlari orasidagi metrikani (masofani) formula bilan aniqlaymiz, bu yerda
Ma’lumki, bu metrika tashkil qiladi. Bu fazo – o‘lchovli sonlar fazosi deb yuritiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Xususiy holda, agar bo‘lsa, da Еvklid tekisligidagi metrika , bo‘lsa, da Еvklid fazosidagi metrika ko‘rinishlarda bo‘ladi.
1-Izoh. Bu to‘plamda ko‘p hollarda metrika ko‘rinishda ham aniqlanadi.
3-misol. ─ fazo. to‘plam sifatida ko‘rinishdagi haqiqiy sonlardan tashkil topgan, shartni qanoatlantiruvchi barcha sonli ketma-ketliklar to‘plamini olaylik. Bu yerda shartni qanoatlantiruvchi tayin son. Bu to‘plamda ikki va elementlar orasidagi masofa (metrika)ni ko‘rinishda aniqlaymiz, bu yerda . Tekshirib, ishonch hosil qilish mumkinki, bu metrik fazo bo‘ladi. Bu fazo ko‘rinishda belgilanadi. Agar bo‘lsa, fazo ko‘p hollarda Gilbert fazosi deb yuritiladi.
4-misol. Diskret metrik fazo. Faraz qilaylik, bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin. to‘plamda ikki element: va orasidagi metrika (masofa)ni quyidagicha aniqlaymiz:

Bu metrika tashkil qiladi va diskret metrika deyiladi. fazo diskret metrik fazo deb yuritiladi.
Shuni aytish kerakki, bu ko‘rinishda fazoni metrikalashtirish doim ham mazmunli bo‘lavermaydi. Shu sababli doimo fazoni diskret bo‘lmagan metrika bilan ta’minlash mazmunliroq bo‘ladi va ko‘p o‘rganiladi.
2-Izoh. Agar to‘plam metrik fazoning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan to‘plamostisi bo‘lsa, to‘plamning ixtiyoriy va elementlari uchun bu ikki element orasidagi masofani (metrikani) deb olsak, u holda to‘plamostida metrika bo‘ladi. Bu metrika indutsirlangan metrika deb yuritiladi. metrik fazo esa, metrik fazoning fazoostisi deb yuritiladi. Agar va to‘plamlar ning bo‘sh bo‘lmagan to‘plamostilari bo‘lsa, bu va to‘plamlar orasidagi masofa sifatida son qabul qilingandir. Xususiy holda soni nuqtadan to‘plamgacha bo‘lgan masofa deb ataladi. Xullas, to‘plamning diametri deb songa aytiladi. Bu yerda .
Nihoyat, agar o‘rinli bo‘lsa, to‘plam chegaralangan to‘plam deyiladi. Metrik fazolarga doir misollar ba’zi hollarda matematik analizga doir masalalarni hal qilishda yuzaga chiqmoqda.